Шаг 1
Введем координаты. Пусть $B=(0,0)$, $C=(25,0)$, $A=(a,h)$, $h>0$.
Шаг 2
Найдем координаты точек деления.
$A_1$ на $BC$: $BA_1:A_1C=2:3 \Rightarrow A_1=(10,0)$.
$B_1$ на $AC$: $AB_1:B_1C=2:5 \Rightarrow B_1=\left(\frac{5a+50}{7},\frac{5h}{7}\right)$.
$C_1$ на $AB$: $AC_1:C_1B=21:10 \Rightarrow C_1=\left(\frac{10a}{31},\frac{10h}{31}\right)$.
$A_1$ на $BC$: $BA_1:A_1C=2:3 \Rightarrow A_1=(10,0)$.
$B_1$ на $AC$: $AB_1:B_1C=2:5 \Rightarrow B_1=\left(\frac{5a+50}{7},\frac{5h}{7}\right)$.
$C_1$ на $AB$: $AC_1:C_1B=21:10 \Rightarrow C_1=\left(\frac{10a}{31},\frac{10h}{31}\right)$.
Шаг 3
Найдем точку $D$ пересечения $BB_1$ и $CC_1$.
Прямая $BB_1$: $(x,y)=t\left(\frac{5a+50}{7},\frac{5h}{7}\right)$.
Прямая $CC_1$: $(x,y)=(25,0)+s\left(\frac{10a}{31}-25,\frac{10h}{31}\right)$.
Приравниваем координаты:
$t\frac{5h}{7}=s\frac{10h}{31} \Rightarrow t=\frac{14}{31}s$.
Подставляем в $x$: $\frac{14}{31}s\cdot\frac{5a+50}{7}=25+s\left(\frac{10a}{31}-25\right)$.
Упрощаем: $s\cdot100=775(1-s) \Rightarrow s=\frac{31}{35}$, $t=\frac{2}{5}$.
Тогда $D=\left(\frac{2(5a+50)}{35},\frac{10h}{35}\right)=\left(\frac{2a+20}{7},\frac{2h}{7}\right)$.
Прямая $BB_1$: $(x,y)=t\left(\frac{5a+50}{7},\frac{5h}{7}\right)$.
Прямая $CC_1$: $(x,y)=(25,0)+s\left(\frac{10a}{31}-25,\frac{10h}{31}\right)$.
Приравниваем координаты:
$t\frac{5h}{7}=s\frac{10h}{31} \Rightarrow t=\frac{14}{31}s$.
Подставляем в $x$: $\frac{14}{31}s\cdot\frac{5a+50}{7}=25+s\left(\frac{10a}{31}-25\right)$.
Упрощаем: $s\cdot100=775(1-s) \Rightarrow s=\frac{31}{35}$, $t=\frac{2}{5}$.
Тогда $D=\left(\frac{2(5a+50)}{35},\frac{10h}{35}\right)=\left(\frac{2a+20}{7},\frac{2h}{7}\right)$.
Шаг 4
Используем условие $AD \perp BC$. Так как $BC$ горизонтален, $x_A=x_D$.
$\frac{2a+20}{7}=a \Rightarrow 2a+20=7a \Rightarrow a=4$.
Из $AC=63$: $(25-4)^2+h^2=63^2 \Rightarrow 441+h^2=3969 \Rightarrow h^2=3528 \Rightarrow h=42\sqrt{2}$.
$\frac{2a+20}{7}=a \Rightarrow 2a+20=7a \Rightarrow a=4$.
Из $AC=63$: $(25-4)^2+h^2=63^2 \Rightarrow 441+h^2=3969 \Rightarrow h^2=3528 \Rightarrow h=42\sqrt{2}$.
Шаг 5
Вычисляем координаты.
$A=(4,42\sqrt{2})$, $D=(4,12\sqrt{2})$, $B_1=(10,30\sqrt{2})$, $A_1=(10,0)$.
Векторы: $\vec{AD}=(0,-30\sqrt{2})$, $\vec{A_1B_1}=(0,30\sqrt{2})$, значит $\vec{AD}=-\vec{A_1B_1}$.
$\vec{AB_1}=(6,-12\sqrt{2})$, $\vec{DA_1}=(6,-12\sqrt{2})$, значит $\vec{AB_1}=\vec{DA_1}$.
Следовательно, $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
$A=(4,42\sqrt{2})$, $D=(4,12\sqrt{2})$, $B_1=(10,30\sqrt{2})$, $A_1=(10,0)$.
Векторы: $\vec{AD}=(0,-30\sqrt{2})$, $\vec{A_1B_1}=(0,30\sqrt{2})$, значит $\vec{AD}=-\vec{A_1B_1}$.
$\vec{AB_1}=(6,-12\sqrt{2})$, $\vec{DA_1}=(6,-12\sqrt{2})$, значит $\vec{AB_1}=\vec{DA_1}$.
Следовательно, $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
Шаг 6
Находим $CD$.
$C=(25,0)$, $D=(4,12\sqrt{2})$, $\vec{CD}=(-21,12\sqrt{2})$.
$CD=\sqrt{(-21)^2+(12\sqrt{2})^2}=\sqrt{441+288}=\sqrt{729}=27$.
$C=(25,0)$, $D=(4,12\sqrt{2})$, $\vec{CD}=(-21,12\sqrt{2})$.
$CD=\sqrt{(-21)^2+(12\sqrt{2})^2}=\sqrt{441+288}=\sqrt{729}=27$.
Окончательный ответ:
27