Задание 790684

Так как $BCDM$ — параллелограмм, то $BC \parallel MD$ и $BC = MD$, а также $BM \parallel CD$ и $BM = CD$.

Точки $A$, $M$, $D$ лежат на одной прямой, поэтому $BC \parallel AD$. Из параллельности $BC \parallel AD$ следует равенство накрест лежащих углов: $\angle ACB = \angle CAD$.

Угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$, а $\angle CAD$ — на дугу $CD$. Равенство углов влечёт равенство дуг, поэтому $AB = CD$.

Из параллелограмма $BM = CD$, а из шага 3 $CD = AB$, значит $BM = AB$. Треугольник $ABM$ равнобедренный, поэтому $\angle BAM = \angle BMA$.

Углы $\angle BMA$ и $\angle DME$ вертикальные, следовательно $\angle BAM = \angle DME$.

Рассмотрим угол $\angle EAD$. Он равен $\angle BAM$, так как это один и тот же угол. Поэтому $\angle DME = \angle EAD$.

Угол $\angle EAD$ — вписанный, опирающийся на дугу $ED$. Угол $\angle DME$ — угол между хордами $AD$ и $BE$. Его мера равна полусумме мер дуг, заключённых внутри него и внутри вертикального угла, то есть $\angle DME = \frac{1}{2} \left( \cup AB + \cup DE \right)$.

Приравниваем: $\frac{1}{2} \left( \cup AB + \cup DE \right) = \frac{1}{2} \cup DE$. Отсюда $\cup AB = 0$, что невозможно. Значит, наше предположение, что точка $M$ лежит внутри окружности, неверно. Точка $M$ должна лежать на окружности.

Если $M$ лежит на окружности, то $BCDM$ — вписанный параллелограмм, а значит, прямоугольник. Тогда $BC$ и $MD$ — диаметры? Нет, проще: из вписанности $M$ следует, что $MD$ — хорда. Из параллелограмма $BC = MD$. Также из шага 6 $\angle DME = \angle EAD$, но если $M$ на окружности, то $\angle DME$ — вписанный, опирающийся на дугу $DE$. Тогда $\angle DME = \frac{1}{2} \cup DE$. Сравнивая с $\angle EAD = \frac{1}{2} \cup DE$, получаем тождество. Это означает, что треугольник $EMD$ равнобедренный: $ED = MD$. Но $MD = BC$, следовательно $BC = DE$.

б) Нахождение длины $AB$

Обозначим $AB = x$, $BC = y$. Из условия $DE = 4$, по доказанному $BC = DE$, поэтому $y = 4$.

Из параллелограмма $BCDM$: $BM = CD$ и $BC = MD = 4$. Также из шага 3 части (а) $AB = CD$, поэтому $BM = AB = x$.

Применяем теорему о пересекающихся хордах для $AD$ и $BE$:
$AM \cdot MD = BM \cdot ME$.
Здесь $AM = AD - MD = 7 - 4 = 3$, $MD = 4$, $BM = x$, $ME = BE - BM = 8 - x$.
Получаем уравнение: $3 \cdot 4 = x(8 - x)$.

Решаем: $12 = 8x - x^2$, то есть $x^2 - 8x + 12 = 0$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 6$.

По условию $AB > BC$, то есть $x > 4$. Поэтому $x = 6$.