Шаг 1
Преобразуем уравнение $\log_2(\sin x) + \log_2(\sin x) \cdot 2\cos x - \sqrt{3} = 0$. Выносим $\log_2(\sin x)$: $\log_2(\sin x) \cdot (1 + 2\cos x) = \sqrt{3}$.
Результат:
$\log_2(\sin x) \cdot (1 + 2\cos x) = \sqrt{3}$.
Шаг 2
ОДЗ: $\sin x > 0$, то есть $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.
Результат:
ОДЗ определено.
Шаг 3
Если $1 + 2\cos x = 0$, то $\cos x = -\frac{1}{2}$, $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$. Из ОДЗ подходит только $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, но подстановка в уравнение даёт $0 = \sqrt{3}$ — противоречие.
Результат:
этот случай не даёт решений.
Шаг 4
При $1 + 2\cos x \neq 0$ имеем $\log_2(\sin x) = \frac{\sqrt{3}}{1 + 2\cos x}$. Так как $\log_2(\sin x) \le 0$, то $\frac{\sqrt{3}}{1 + 2\cos x} \le 0 \Rightarrow 1 + 2\cos x < 0$, то есть $\cos x < -\frac{1}{2}$.
Результат:
необходимое условие: $\cos x < -\frac{1}{2}$.
Шаг 5
Находим пересечение условия $\cos x < -\frac{1}{2}$ с ОДЗ $\sin x > 0$. Решение $\cos x < -\frac{1}{2}$: $x \in \left( \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \right)$. На интервале $\left( \pi, \frac{4\pi}{3} \right)$ синус отрицателен. Значит, $x \in \left( \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \pi + 2\pi n \right)$.
Результат:
допустимые $x$: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n$.
Шаг 6
Уравнение $\log_2(\sin x) = \frac{\sqrt{3}}{1 + 2\cos x}$ равносильно $\sin x = 2^{\frac{\sqrt{3}}{1 + 2\cos x}}$ при найденных ограничениях. Простых угловых решений нет, уравнение трансцендентное.
Результат:
общее решение: $x = \alpha + 2\pi n$, где $\alpha \in \left( \frac{2\pi}{3}, \pi \right)$ — корень уравнения $\sin x = 2^{\frac{\sqrt{3}}{1 + 2\cos x}}$.
Шаг 7
На отрезке $\left[ \frac{\pi}{2}, 2\pi \right]$ ищем корни. С учётом ОДЗ ($\sin x > 0$) и условия $\cos x < -\frac{1}{2}$ получаем интервал $x \in \left( \frac{2\pi}{3}, \pi \right)$. Концы отрезка $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = 2\pi$ не удовлетворяют уравнению.
Результат:
на заданном отрезке корень лежит в $\left( \frac{2\pi}{3}, \pi \right)$.
Шаг 8
Численно исследуем $f(x) = \log_2(\sin x) \cdot (1 + 2\cos x) - \sqrt{3}$. $f\left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\sqrt{3} < 0$, $f(\pi^-) \to +\infty$. Знак меняется, значит, есть один корень. Приближённо: $x \approx 2.85$ радиан.
Результат:
единственный корень на отрезке: $x \approx 2.85$.
Окончательный ответ:
$x \approx 2.85$.