Шаг 1
Сделаем замену $t = 5^{x} > 0$. Исходное уравнение приводится к квадратному:
$t^{2} - (a+6+5+3|a|)t + (a+6)(3|a|+5) = 0$.
$t^{2} - (a+6+5+3|a|)t + (a+6)(3|a|+5) = 0$.
Шаг 2
Упростим коэффициенты. Получаем уравнение:
$t^{2} - (a + 3|a| + 11)t + (a+6)(3|a|+5) = 0$.
$t^{2} - (a + 3|a| + 11)t + (a+6)(3|a|+5) = 0$.
Шаг 3
Рассмотрим случай $a \geq 0$, тогда $|a| = a$. Уравнение принимает вид:
$t^{2} - (4a + 11)t + (a+6)(3a+5) = 0$.
Дискриминант: $D = (4a+11)^{2} - 4(a+6)(3a+5) = 4a^{2} + 4a + 1 = (2a+1)^{2}$.
Корни: $t_{1} = a+6$, $t_{2} = 3a+5$. Оба положительны при $a \geq 0$. Исходное уравнение имеет единственное решение, когда $t_{1} = t_{2}$, т.е. $a+6 = 3a+5 \Rightarrow 2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
$t^{2} - (4a + 11)t + (a+6)(3a+5) = 0$.
Дискриминант: $D = (4a+11)^{2} - 4(a+6)(3a+5) = 4a^{2} + 4a + 1 = (2a+1)^{2}$.
Корни: $t_{1} = a+6$, $t_{2} = 3a+5$. Оба положительны при $a \geq 0$. Исходное уравнение имеет единственное решение, когда $t_{1} = t_{2}$, т.е. $a+6 = 3a+5 \Rightarrow 2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
Шаг 4
Рассмотрим случай $a < 0$, тогда $|a| = -a$. Уравнение принимает вид:
$t^{2} - (-2a + 11)t + (a+6)(-3a+5) = 0$.
Дискриминант: $D = (-2a+11)^{2} - 4(a+6)(-3a+5) = 16a^{2} + 8a + 1 = (4a+1)^{2}$.
Корни: $t_{1} = a+6$, $t_{2} = -3a+5$.
Проанализируем условие $t > 0$:
1) Если $-6 < a < 0$, то $t_{1} = a+6 > 0$ и $t_{2} = -3a+5 > 0$. Единственное решение исходного уравнения будет при $t_{1} = t_{2}$: $a+6 = -3a+5 \Rightarrow 4a = -1 \Rightarrow a = -\frac{1}{4}$.
2) Если $a = -6$, то $t_{1} = 0$ (не подходит), $t_{2} = -3\cdot(-6)+5 = 23 > 0$. Получаем один положительный корень $t = 23$.
3) Если $a < -6$, то $t_{1} = a+6 < 0$ (не подходит), а $t_{2} = -3a+5 > 0$ (так как $a<0$). Получаем ровно один положительный корень $t = -3a+5$.
$t^{2} - (-2a + 11)t + (a+6)(-3a+5) = 0$.
Дискриминант: $D = (-2a+11)^{2} - 4(a+6)(-3a+5) = 16a^{2} + 8a + 1 = (4a+1)^{2}$.
Корни: $t_{1} = a+6$, $t_{2} = -3a+5$.
Проанализируем условие $t > 0$:
1) Если $-6 < a < 0$, то $t_{1} = a+6 > 0$ и $t_{2} = -3a+5 > 0$. Единственное решение исходного уравнения будет при $t_{1} = t_{2}$: $a+6 = -3a+5 \Rightarrow 4a = -1 \Rightarrow a = -\frac{1}{4}$.
2) Если $a = -6$, то $t_{1} = 0$ (не подходит), $t_{2} = -3\cdot(-6)+5 = 23 > 0$. Получаем один положительный корень $t = 23$.
3) Если $a < -6$, то $t_{1} = a+6 < 0$ (не подходит), а $t_{2} = -3a+5 > 0$ (так как $a<0$). Получаем ровно один положительный корень $t = -3a+5$.
Окончательный ответ:
$(-\infty,-6]\cup\{-\frac{1}{4}\}\cup\{\frac{1}{2}\}$