Шаг 1
Введём координаты. Пусть $A = (0,0)$, $D = (d,0)$, $B = (0,b)$. Так как $\angle BAD = 90^\circ$, $AB \perp AD$. Прямая $BC$ параллельна $AD$, поэтому $C$ и $M$ имеют $y = b$.
Шаг 2
Окружность с диаметром $AD$ имеет центр $\left(\frac{d}{2}, 0\right)$ и радиус $\frac{d}{2}$. Её уравнение: $\left(x - \frac{d}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2$. Подставляя $y = b$, находим точки пересечения: $x = \frac{d}{2} \pm l$, где $l = \sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2 - b^2}$.
Шаг 3
Пусть $C = \left(\frac{d}{2} + l, b\right)$ и $M = \left(\frac{d}{2} - l, b\right)$. Условие $BC = 2BM$ даёт: $\frac{d}{2} + l = 2\left(\frac{d}{2} - l\right)$.
Шаг 4
Решаем: $\frac{d}{2} + l = d - 2l \Rightarrow 3l = \frac{d}{2} \Rightarrow l = \frac{d}{6}$. Тогда $b = \sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2 - \left(\frac{d}{6}\right)^2} = \frac{d\sqrt{2}}{3}$.
Шаг 5
Докажем $\angle BAM = \angle CAD$. Векторы: $\overrightarrow{AB} = (0,b)$, $\overrightarrow{AM} = \left(\frac{d}{3}, b\right)$. Тогда $\tan(\angle BAM) = \frac{d/3}{b} = \frac{d}{3b}$.
Шаг 6
Векторы: $\overrightarrow{AC} = \left(\frac{2d}{3}, b\right)$, $\overrightarrow{AD} = (d,0)$. Тогда $\tan(\angle CAD) = \frac{b \cdot d - 0 \cdot \frac{2d}{3}}{\frac{2d}{3} \cdot d + b \cdot 0} = \frac{bd}{2d^2/3} = \frac{3b}{2d}$.
Шаг 7
Подставляем $b = \frac{d\sqrt{2}}{3}$: $\tan(\angle BAM) = \frac{d}{3 \cdot \frac{d\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\tan(\angle CAD) = \frac{3 \cdot \frac{d\sqrt{2}}{3}}{2d} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Значит, $\angle BAM = \angle CAD$. Часть (а) доказана.
Шаг 8
Найдём точку $O$ пересечения диагоналей. Прямая $AC$: параметрически $( \frac{2d}{3}t, bt )$. Прямая $BD$: параметрически $( ds, b(1-s) )$. Приравниваем: $\frac{2d}{3}t = ds$ и $bt = b(1-s)$. Из второго: $t = 1-s$. Подставляем в первое: $\frac{2d}{3}(1-s) = ds \Rightarrow \frac{2}{3} - \frac{2}{3}s = s \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{5}{3}s \Rightarrow s = \frac{2}{5}$, $t = \frac{3}{5}$. Тогда $O = \left( \frac{2d}{5}, \frac{3b}{5} \right)$.
Шаг 9
Площадь $\triangle AOB$ с вершинами $A=(0,0)$, $B=(0,b)$, $O=\left( \frac{2d}{5}, \frac{3b}{5} \right)$: $S = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot b - 0 \cdot \frac{3b}{5} + 0 \cdot \frac{3b}{5} - b \cdot \frac{2d}{5} + \frac{2d}{5} \cdot b - \frac{3b}{5} \cdot 0 \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{2db}{5} = \frac{db}{5}$.
Шаг 10
Дано $AB = \sqrt{10}$, то есть $b = \sqrt{10}$. Из $b = \frac{d\sqrt{2}}{3}$ находим $d = \frac{3b}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{5}$. Тогда $S = \frac{db}{5} = \frac{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}{5} = \frac{3\sqrt{50}}{5} = \frac{3 \cdot 5\sqrt{2}}{5} = 3\sqrt{2}$.
Окончательный ответ:
\(3\sqrt{2}\)