а) Доказательство, что $M$, $O$, $N$ лежат на одной прямой
Шаг 1: Обозначим $\angle BAD = 2\alpha$, $\angle ABC = 2\beta$. Так как $AD \parallel BC$, то $2\alpha + 2\beta = 180^\circ$, откуда $\alpha + \beta = 90^\circ$.
Шаг 2: Из условия $AO = CO$ и симметрии трапеции следует, что $BO$ — биссектриса угла $ABC$, поэтому $\angle ABO = \beta$, $\angle CBO = \beta$.
Шаг 3: В треугольнике $ABO$: $\angle BAO = \alpha$, $\angle ABO = \beta$, тогда $\angle AOB = 180^\circ - \alpha - \beta = 90^\circ$.
Шаг 4: В треугольнике $AMO$: $AM = MO$, $\angle MAO = \alpha$, значит $\angle AOM = \alpha$. Тогда $\angle MOB = \angle AOB - \angle AOM = 90^\circ - \alpha = \beta$ (так как $\alpha + \beta = 90^\circ$). Но $\angle ABO = \beta$, поэтому лучи $OM$ и $OB$ совпадают, и $M$ лежит на прямой $BO$.
Шаг 5: Аналогично для треугольника $CNO$: $CN = NO$, $\angle NCO = \beta$, значит $\angle CON = \beta$. В треугольнике $BCO$: $\angle BCO = \beta$, $\angle CBO = \beta$, тогда $\angle BOC = 180^\circ - 2\beta$. Но $\angle CON = \beta$, поэтому $\angle BON = \angle BOC + \angle CON = (180^\circ - 2\beta) + \beta = 180^\circ - \beta$, что означает, что $N$ также лежит на прямой $BO$.
Шаг 2: Из условия $AO = CO$ и симметрии трапеции следует, что $BO$ — биссектриса угла $ABC$, поэтому $\angle ABO = \beta$, $\angle CBO = \beta$.
Шаг 3: В треугольнике $ABO$: $\angle BAO = \alpha$, $\angle ABO = \beta$, тогда $\angle AOB = 180^\circ - \alpha - \beta = 90^\circ$.
Шаг 4: В треугольнике $AMO$: $AM = MO$, $\angle MAO = \alpha$, значит $\angle AOM = \alpha$. Тогда $\angle MOB = \angle AOB - \angle AOM = 90^\circ - \alpha = \beta$ (так как $\alpha + \beta = 90^\circ$). Но $\angle ABO = \beta$, поэтому лучи $OM$ и $OB$ совпадают, и $M$ лежит на прямой $BO$.
Шаг 5: Аналогично для треугольника $CNO$: $CN = NO$, $\angle NCO = \beta$, значит $\angle CON = \beta$. В треугольнике $BCO$: $\angle BCO = \beta$, $\angle CBO = \beta$, тогда $\angle BOC = 180^\circ - 2\beta$. Но $\angle CON = \beta$, поэтому $\angle BON = \angle BOC + \angle CON = (180^\circ - 2\beta) + \beta = 180^\circ - \beta$, что означает, что $N$ также лежит на прямой $BO$.
Результат:
Точки $M$, $O$, $N$ лежат на одной прямой (на прямой $BO$).
б) Найти $AM : MB$ при $BC : AD = 17 : 31$
Шаг 1: Пусть $BC = 17k$, $AD = 31k$. Проекция боковой стороны $AB = L$ на основание $AD$ равна $\frac{AD - BC}{2} = \frac{31k - 17k}{2} = 7k$. Тогда $\cos(2\alpha) = \frac{7k}{L}$.
Шаг 2: Из треугольника $ABO$: $\angle AOB = 90^\circ$, $\angle ABO = \beta$, $\angle BAO = \alpha$. По теореме синусов:
$$
\frac{AB}{\sin 90^\circ} = \frac{AO}{\sin\beta} \Rightarrow L = \frac{AO}{\sin\beta}.
$$
Шаг 3: Из треугольника $AMO$: $AM = MO = t$, $\angle MAO = \alpha$, $\angle AOM = \alpha$. По теореме синусов:
$$
\frac{AO}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{t}{\sin\alpha} \Rightarrow AO = \frac{t \sin(2\alpha)}{\sin\alpha} = 2t\cos\alpha.
$$
Шаг 4: Подставляем $AO$ из шага 3 в выражение из шага 2:
$$
L = \frac{2t\cos\alpha}{\sin\beta}.
$$
Так как $\alpha + \beta = 90^\circ$, то $\sin\beta = \cos\alpha$, поэтому
$$
L = \frac{2t\cos\alpha}{\cos\alpha} = 2t.
$$
Значит, $AB = 2t$, $AM = t$, тогда $MB = AB - AM = t$.
Шаг 2: Из треугольника $ABO$: $\angle AOB = 90^\circ$, $\angle ABO = \beta$, $\angle BAO = \alpha$. По теореме синусов:
$$
\frac{AB}{\sin 90^\circ} = \frac{AO}{\sin\beta} \Rightarrow L = \frac{AO}{\sin\beta}.
$$
Шаг 3: Из треугольника $AMO$: $AM = MO = t$, $\angle MAO = \alpha$, $\angle AOM = \alpha$. По теореме синусов:
$$
\frac{AO}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{t}{\sin\alpha} \Rightarrow AO = \frac{t \sin(2\alpha)}{\sin\alpha} = 2t\cos\alpha.
$$
Шаг 4: Подставляем $AO$ из шага 3 в выражение из шага 2:
$$
L = \frac{2t\cos\alpha}{\sin\beta}.
$$
Так как $\alpha + \beta = 90^\circ$, то $\sin\beta = \cos\alpha$, поэтому
$$
L = \frac{2t\cos\alpha}{\cos\alpha} = 2t.
$$
Значит, $AB = 2t$, $AM = t$, тогда $MB = AB - AM = t$.
Результат:
$AM : MB = t : t = 1 : 1$.
Окончательный ответ: