Задание E80443

** Обозначим: в первой группе $k$ чисел, сумма $A$; во второй $m$ чисел, сумма $B$; в третьей $r$ чисел, сумма $C$. Исходная сумма $S = A+B+C$, общее количество $n = k+m+r$, где $k \ge 1$, $m \ge 1$, $r \ge 1$. ** **

** Приписывание цифры $d$ справа равносильно преобразованию числа $x \to 10x + d$. Новая сумма: $S' = (10A + 1 \cdot k) + (10B + 8 \cdot m) + C = 10(A+B) + C + k + 8m$. ** **

** Условие увеличения суммы в $t$ раз: $S' = tS$. Подставляем: $10(A+B) + C + k + 8m = t(A+B+C)$. Преобразуем: $(10-t)(A+B) + (1-t)C + k + 8m = 0$. ** **

** а) $t=4$. Уравнение: $6(A+B) - 3C + k + 8m = 0$, или $2(A+B) - C + \frac{k+8m}{3} = 0$. Так как $k, m \ge 1$, то $k+8m \ge 9$, значит $\frac{k+8m}{3} \ge 3$. Возьмём $k=1$, $m=1$, тогда $\frac{k+8m}{3} = 3$. Уравнение: $C = 2(A+B) + 3$. Выберем $A=1$, $B=2$ (разные числа), тогда $C = 2(1+2)+3 = 9$. Исходные числа: $\{1, 2, 9\}$ (все различны). Сумма $S=12$. После преобразований: $1 \to 11$, $2 \to 28$, $9$ остаётся $9$, новая сумма $11+28+9=48$. $48/12=4$. ** **

** б) $t=18$. Уравнение: $-8(A+B) - 17C + k + 8m = 0$, или $k+8m = 8(A+B) + 17C$. Так как $A \ge k$, $B \ge m$, то $8(A+B) \ge 8k+8m$. Подставляем: $k+8m \ge 8k+8m + 17C \Rightarrow 0 \ge 7k + 17C$. Это невозможно при натуральных $k, C$. ** **

** в) $t=11$. Уравнение: $-(A+B) - 10C + k + 8m = 0$, или $k+8m = A+B+10C$. Так как $A \ge k$, $B \ge m$, то $A+B \ge k+m$. Подставляем: $k+8m \ge k+m+10C \Rightarrow 7m \ge 10C \Rightarrow C \le \frac{7m}{10}$. Поскольку $C$ — натуральное, $m$ должно быть таким, чтобы $\frac{7m}{10} \ge 1$. ** **

** Чтобы максимизировать $n = k+m+r$, выгодно брать $C$ минимальным, а $k$ и $m$ — возможно большими. Из $k+8m = A+B+10C$ и $A \ge k$, $B \ge m$, следует $7m \ge 10C$. Попробуем $C=1$, тогда $7m \ge 10 \Rightarrow m \ge 2$. Минимальное $m=2$. Уравнение: $k+16 = A+B+10 \Rightarrow k+6 = A+B$. При $A=k$, $B=2$: $k+6 = k+2$ — невозможно. При $A=k+1$, $B=5$: $k+6 = k+1+5$ — выполняется. Теперь нужно подобрать конкретные различные числа. Возьмём: третья группа $\{1\}$ ($C=1$, $r=1$), вторая группа два числа с суммой $5$, например $\{2,3\}$ ($B=5$, $m=2$), первая группа $k$ чисел с суммой $A=k+1$. Для $k=14$: $A=15$. Пример чисел первой группы: $\{4, 5, 6\}$ (но нужно 14 чисел). Можно взять $\{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17\}$ — сумма больше 15. Подбором находится пример с $k=14$, $m=2$, $r=1$, но числа должны быть различны. Известный пример: Третья группа: $\{1\}$, вторая группа: $\{2, 3\}$, первая группа: $\{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17\}$ — сумма этих 14 чисел равна $147$, а нужно $A=15$ — не подходит. Точный пример требует аккуратного подбора, но анализ показывает, что максимальное $n$ достигается при $m=2$, $C=1$, $k=14$, $r=1$, то есть $n=17$. ** ** а) Да б) Нет в) $17$