Шаг 1
Раскрываем $\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$ по формуле сложения.
Результат:
$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x$.
Шаг 2
Подставляем это выражение в исходное уравнение.
Результат:
$\sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x - \cos x = \sqrt{3}\sin 2x - 1$.
Шаг 3
Сокращаем $\sqrt{3}\sin 2x$ с обеих сторон.
Результат:
$\cos 2x - \cos x = -1$.
Шаг 4
Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^{2}x - 1$.
Результат:
$(2\cos^{2}x - 1) - \cos x = -1 \Rightarrow 2\cos^{2}x - \cos x = 0$.
Шаг 5
Выносим общий множитель.
Результат:
$\cos x (2\cos x - 1) = 0$.
Шаг 6
Решаем полученные уравнения.
1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}$.
Результат:
1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}$.
Шаг 7
Находим корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$.
- Из первой серии: $x = \frac{5\pi}{2}$, $x = \frac{7\pi}{2}$.
- Из второй серии: $x = \frac{11\pi}{3}$.
Результат:
- Из первой серии: $x = \frac{5\pi}{2}$, $x = \frac{7\pi}{2}$.
- Из второй серии: $x = \frac{11\pi}{3}$.
Окончательный ответ:
$\frac{5\pi}{2},\;\frac{7\pi}{2},\;\frac{11\pi}{3}$.