Шаг 1
По теореме о девятиточечной окружности, середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков от ортоцентра до вершин лежат на одной окружности. В частности, середины сторон $A_1$, $B_1$, $C_1$ и основание высоты $H$ лежат на этой окружности. Это доказывает пункт (а).
Результат:
Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.
Шаг 2
Найдем $A_1H$. Известно: $BC = 4\sqrt{3}$, $\angle BAC = 120^\circ$, $\angle BCA = 15^\circ$. Тогда $\angle ABC = 180^\circ - 120^\circ - 15^\circ = 45^\circ$.
Поместим треугольник в систему координат: $B(0,0)$, $C(4\sqrt{3},0)$. Тогда $A_1$ — середина $BC$, поэтому $A_1(2\sqrt{3},0)$.
Так как $\angle ABC = 45^\circ$, сторона $AB$ образует с осью $Ox$ угол $45^\circ$. Длина $AB$ находится по теореме синусов:
$\frac{AB}{\sin 15^\circ} = \frac{BC}{\sin 120^\circ} \Rightarrow AB = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sin 15^\circ}{\sin 120^\circ}$.
Вычислим: $\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$, $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Тогда $AB = \frac{4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2})$.
Координаты точки $A$: $x_A = AB \cos 45^\circ = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3} - 2$,
$y_A = AB \sin 45^\circ = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{3} - 2$.
Так как $AH$ — высота к стороне $BC$, лежащей на оси $Ox$, то $H$ имеет координаты $(x_A, 0) = (2\sqrt{3} - 2, 0)$.
Тогда расстояние $A_1H = |x_{A_1} - x_H| = |2\sqrt{3} - (2\sqrt{3} - 2)| = 2$.
Поместим треугольник в систему координат: $B(0,0)$, $C(4\sqrt{3},0)$. Тогда $A_1$ — середина $BC$, поэтому $A_1(2\sqrt{3},0)$.
Так как $\angle ABC = 45^\circ$, сторона $AB$ образует с осью $Ox$ угол $45^\circ$. Длина $AB$ находится по теореме синусов:
$\frac{AB}{\sin 15^\circ} = \frac{BC}{\sin 120^\circ} \Rightarrow AB = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sin 15^\circ}{\sin 120^\circ}$.
Вычислим: $\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$, $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Тогда $AB = \frac{4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2})$.
Координаты точки $A$: $x_A = AB \cos 45^\circ = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3} - 2$,
$y_A = AB \sin 45^\circ = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{3} - 2$.
Так как $AH$ — высота к стороне $BC$, лежащей на оси $Ox$, то $H$ имеет координаты $(x_A, 0) = (2\sqrt{3} - 2, 0)$.
Тогда расстояние $A_1H = |x_{A_1} - x_H| = |2\sqrt{3} - (2\sqrt{3} - 2)| = 2$.
Результат:
$A_1H = 2$.
Окончательный ответ:
2