Шаг 1
Введем координаты. Поместим основание в плоскость $Oxy$: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$. Пусть $S\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, h\right)$ — вершина пирамиды.
Результат:
Система координат выбрана.
Шаг 2
Найдем координаты точек $M$ и $K$. $M$ — середина $AB$: $M\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$. $K$ — середина $SC$: $K\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{h}{2}\right)$.
Результат:
Координаты $M$ и $K$ определены.
Шаг 3
Найдем точку $N$. По условию $AN:NS = 3:1$. Используя формулу деления отрезка, получаем: $N\left(\frac{3}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{3h}{4}\right)$.
Результат:
Координаты $N$ найдены.
Шаг 4
Докажем, что прямые $MN$ и $SB$ пересекаются. Запишем уравнения прямых в параметрической форме:
$MN: \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) + \mu\left(\frac{3}{8}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{8}-0, \frac{3h}{4}-0\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) + \mu\left(-\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{3h}{4}\right)$.
$SB: \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, h\right) + \lambda\left(1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{6}, 0-h\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, h\right) + \lambda\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{6}, -h\right)$.
Приравнивая координаты, находим $\mu = 2$ и $\lambda = -\frac{1}{2}$. Прямые пересекаются в точке $P\left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3h}{2}\right)$.
$MN: \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) + \mu\left(\frac{3}{8}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{8}-0, \frac{3h}{4}-0\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) + \mu\left(-\frac{1}{8}, \frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{3h}{4}\right)$.
$SB: \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, h\right) + \lambda\left(1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{6}, 0-h\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, h\right) + \lambda\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{6}, -h\right)$.
Приравнивая координаты, находим $\mu = 2$ и $\lambda = -\frac{1}{2}$. Прямые пересекаются в точке $P\left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3h}{2}\right)$.
Результат:
Прямые $MN$ и $SB$ пересекаются в точке $P$.
Шаг 5
Найдем точку $L$ на ребре $BC$ так, чтобы прямые $MK$ и $NL$ пересекались. Пусть $L = B + t(C - B) = (1,0,0) + t\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) = \left(1-\frac{t}{2}, \frac{t\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.
Прямая $KL$ проходит через $K\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{h}{2}\right)$ и $L$. Прямая $MN$ уже известна. Для пересечения прямых $MK$ и $NL$ достаточно потребовать, чтобы точка $P$ (из шага 4) лежала на прямой $KL$. Подставим координаты $P$ в параметрическое уравнение $KL$ и найдем $t$.
Из уравнения для $x$-координаты: $\frac{1}{2} + \alpha\left(1-\frac{t}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \Rightarrow \alpha\left(\frac{1}{2} - \frac{t}{2}\right) = -\frac{1}{4}$.
Из уравнения для $y$-координаты: $\frac{\sqrt{3}}{3} + \alpha\left(\frac{t\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \Rightarrow \alpha\left(\frac{3t-2}{6}\right)\sqrt{3} = \left(\frac{3-4}{12}\right)\sqrt{3} \Rightarrow \alpha\left(\frac{3t-2}{6}\right) = -\frac{1}{12}$.
Решая систему, находим $t = \frac{3}{4}$. Тогда $BL:LC = t:(1-t) = \frac{3}{4}:\frac{1}{4} = 3:1$.
Прямая $KL$ проходит через $K\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{h}{2}\right)$ и $L$. Прямая $MN$ уже известна. Для пересечения прямых $MK$ и $NL$ достаточно потребовать, чтобы точка $P$ (из шага 4) лежала на прямой $KL$. Подставим координаты $P$ в параметрическое уравнение $KL$ и найдем $t$.
Из уравнения для $x$-координаты: $\frac{1}{2} + \alpha\left(1-\frac{t}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \Rightarrow \alpha\left(\frac{1}{2} - \frac{t}{2}\right) = -\frac{1}{4}$.
Из уравнения для $y$-координаты: $\frac{\sqrt{3}}{3} + \alpha\left(\frac{t\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \Rightarrow \alpha\left(\frac{3t-2}{6}\right)\sqrt{3} = \left(\frac{3-4}{12}\right)\sqrt{3} \Rightarrow \alpha\left(\frac{3t-2}{6}\right) = -\frac{1}{12}$.
Решая систему, находим $t = \frac{3}{4}$. Тогда $BL:LC = t:(1-t) = \frac{3}{4}:\frac{1}{4} = 3:1$.
Результат:
Отношение $BL:LC = 3:1$, и точка $P$ лежит также на прямой $KL$, что доказывает утверждение пункта а).
Окончательный ответ:
3