Задание 8C66D1

Найдём ОДЗ. Логарифмы определены при:
1) $4x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x < -\frac{1}{2}$ или $x > \frac{1}{2}$.
2) $x > 0$ (из $\log_2 x$).
3) $5x + \frac{9}{x} - 11 > 0$.

Пересекая 1 и 2, получаем $x > \frac{1}{2}$. Для условия 3 умножим на $x > 0$: $5x^2 - 11x + 9 > 0$. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = -59 < 0$, старший коэффициент положителен, значит неравенство верно при всех $x$. Итак, ОДЗ: $x > \frac{1}{2}$.

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов.
$\log_2(4x^2 - 1) - \log_2 x = \log_2\left(\frac{4x^2 - 1}{x}\right)$.
Правая часть: $\log_2\left(5x + \frac{9}{x} - 11\right) = \log_2\left(\frac{5x^2 - 11x + 9}{x}\right)$.
Получаем: $\log_2\left(\frac{4x^2 - 1}{x}\right) \le \log_2\left(\frac{5x^2 - 11x + 9}{x}\right)$.

Так как основание $2 > 1$, логарифмическая функция возрастает, поэтому неравенство равносильно:
$\frac{4x^2 - 1}{x} \le \frac{5x^2 - 11x + 9}{x}$, при $x > \frac{1}{2}$.

Умножаем на $x > 0$: $4x^2 - 1 \le 5x^2 - 11x + 9$.

Переносим всё в одну сторону: $-x^2 + 11x - 10 \le 0$. Умножаем на $-1$ (меняем знак): $x^2 - 11x + 10 \ge 0$.

Решаем квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - 11x + 10 = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 10$. Неравенство выполняется при $x \le 1$ или $x \ge 10$.

Учитываем ОДЗ $x > \frac{1}{2}$.
Пересечение с $x \le 1$ даёт $\frac{1}{2} < x \le 1$.
Пересечение с $x \ge 10$ даёт $x \ge 10$.