Шаг 1
Из строгого убывания $k_i$ следует $n \le k_1$.
Чтобы $n \ge 6$, нужно $k_1 \ge 6$.
Чтобы $n \ge 6$, нужно $k_1 \ge 6$.
Шаг 2
Рассмотрим $n=6$. Тогда $k_1 \ge 7$ (так как $k_1 > k_2 > \dots > k_6 \ge 1$).
Минимальная сумма в день 1: $S_1 \ge k_1 \ge 7$.
Максимальная сумма в день 6 при $k_6 \ge 2$: $S_6 \le 5k_6 \le 10$.
Тогда $S_1 < S_2 < S_3 < S_4 < S_5 < S_6 \le 10$, причём все $S_i$ — целые.
Но между $7$ и $10$ есть только $4$ различных целых числа, а нужно $6$ разных — невозможно.
б) Может ли среднее арифметическое первого дня быть меньше $3$, а среднее всех чисел — больше $4$?
Минимальная сумма в день 1: $S_1 \ge k_1 \ge 7$.
Максимальная сумма в день 6 при $k_6 \ge 2$: $S_6 \le 5k_6 \le 10$.
Тогда $S_1 < S_2 < S_3 < S_4 < S_5 < S_6 \le 10$, причём все $S_i$ — целые.
Но между $7$ и $10$ есть только $4$ различных целых числа, а нужно $6$ разных — невозможно.
Результат:
$n$ не может быть больше $5$.
б) Может ли среднее арифметическое первого дня быть меньше $3$, а среднее всех чисел — больше $4$?
Шаг 1
$A_1 = \frac{S_1}{k_1} < 3 \Rightarrow S_1 < 3k_1$.
Общее среднее: $A_{\text{общ}} = \frac{S_1 + \dots + S_n}{k_1 + \dots + k_n} > 4$.
Общее среднее: $A_{\text{общ}} = \frac{S_1 + \dots + S_n}{k_1 + \dots + k_n} > 4$.
Шаг 2
Оценим максимальное $A_{\text{общ}}$ при $A_1 < 3$.
Рассмотрим случай $n=2$: $k_1 > k_2$, $S_1 < S_2$.
Максимум $A_{\text{общ}}$ достигается при $S_2 = 5k_2$ и $k_2 = 1$ (наибольшее $S_2/k_2$).
Тогда $A_{\text{общ}} = \frac{S_1 + 5}{k_1 + 1}$.
При $S_1 < 3k_1$ возьмём наибольшее $S_1 = 3k_1 - 1$:
$A_{\text{общ}} = \frac{3k_1 - 1 + 5}{k_1 + 1} = \frac{3k_1 + 4}{k_1 + 1} = 3 + \frac{1}{k_1 + 1} < 4$ для любого $k_1 \ge 1$.
Рассмотрим случай $n=2$: $k_1 > k_2$, $S_1 < S_2$.
Максимум $A_{\text{общ}}$ достигается при $S_2 = 5k_2$ и $k_2 = 1$ (наибольшее $S_2/k_2$).
Тогда $A_{\text{общ}} = \frac{S_1 + 5}{k_1 + 1}$.
При $S_1 < 3k_1$ возьмём наибольшее $S_1 = 3k_1 - 1$:
$A_{\text{общ}} = \frac{3k_1 - 1 + 5}{k_1 + 1} = \frac{3k_1 + 4}{k_1 + 1} = 3 + \frac{1}{k_1 + 1} < 4$ для любого $k_1 \ge 1$.
Шаг 3
При $n > 2$ ситуация не улучшится, потому что добавление дней с промежуточными суммами не позволит превзойти оценку для $n=2$ с максимальным $S_n$ при минимальном $k_n$.
в) $S_1 = 6$. Наибольшая сумма всех чисел за все дни?
Результат:
Невозможно.
в) $S_1 = 6$. Наибольшая сумма всех чисел за все дни?
Шаг 1
Поскольку числа натуральные и $S_1 = 6$, максимальное $k_1$ равно $6$ (все единицы). При $k_1 \ge 7$ минимальная сумма была бы $7$.
Шаг 2
Для максимальной общей суммы нужно максимизировать $n$ и каждую $S_i$.
При $k_1 = 6$ максимальная длина $n = 5$ (так как $n=6$ невозможно по пункту а)).
Пример: $k_1=6$, $k_2=5$, $k_3=4$, $k_4=3$, $k_5=2$ с суммами $S_1=6$, $S_2=7$, $S_3=8$, $S_4=9$, $S_5=10$.
Общая сумма $= 6+7+8+9+10 = 40$.
При $k_1 = 6$ максимальная длина $n = 5$ (так как $n=6$ невозможно по пункту а)).
Пример: $k_1=6$, $k_2=5$, $k_3=4$, $k_4=3$, $k_5=2$ с суммами $S_1=6$, $S_2=7$, $S_3=8$, $S_4=9$, $S_5=10$.
Общая сумма $= 6+7+8+9+10 = 40$.
Шаг 3
Покажем, что $40$ — максимум.
Если попытаться увеличить какую-либо $S_i$, например $S_2=8$, то тогда $S_3 \ge 9$, $S_4 \ge 10$, $S_5 \ge 11$, но при $k_5=2$ максимум $S_5=10$ — противоречие.
Другие значения $k_1$ дают меньшую общую сумму (например, при $k_1=5$ максимум $n=4$ и сумма не более $33$).
Если попытаться увеличить какую-либо $S_i$, например $S_2=8$, то тогда $S_3 \ge 9$, $S_4 \ge 10$, $S_5 \ge 11$, но при $k_5=2$ максимум $S_5=10$ — противоречие.
Другие значения $k_1$ дают меньшую общую сумму (например, при $k_1=5$ максимум $n=4$ и сумма не более $33$).
Результат:
Наибольшая возможная сумма равна $40$.
Окончательный ответ: