Шаг 1
Упростим уравнение.
Исходное: $\sqrt{x+2a} \cdot \ln(x-a) = (x-1) \cdot \ln(x-a)$.
Перенесем всё в одну сторону и вынесем $\ln(x-a)$:
$\ln(x-a) \cdot \left( \sqrt{x+2a} - (x-1) \right) = 0$.
1) $\ln(x-a) = 0$
2) $\sqrt{x+2a} - (x-1) = 0$.
Исходное: $\sqrt{x+2a} \cdot \ln(x-a) = (x-1) \cdot \ln(x-a)$.
Перенесем всё в одну сторону и вынесем $\ln(x-a)$:
$\ln(x-a) \cdot \left( \sqrt{x+2a} - (x-1) \right) = 0$.
Результат:
уравнение распадается на два случая:
1) $\ln(x-a) = 0$
2) $\sqrt{x+2a} - (x-1) = 0$.
Шаг 2
Найдем ОДЗ.
Из $\ln(x-a)$: $x-a > 0 \Rightarrow x > a$.
Из $\sqrt{x+2a}$: $x+2a \ge 0 \Rightarrow x \ge -2a$.
По условию $x \in [0,1]$.
Из $\ln(x-a)$: $x-a > 0 \Rightarrow x > a$.
Из $\sqrt{x+2a}$: $x+2a \ge 0 \Rightarrow x \ge -2a$.
По условию $x \in [0,1]$.
Результат:
ОДЗ: $x \in [0,1]$, $x > a$, $x \ge -2a$.
Шаг 3
Случай 1: $\ln(x-a) = 0$.
Тогда $x-a = 1 \Rightarrow x = a+1$.
Этот корень должен лежать в $[0,1]$ и удовлетворять ОДЗ.
Условия:
- $0 \le a+1 \le 1 \Rightarrow -1 \le a \le 0$.
- $x > a$ выполняется автоматически.
- $x \ge -2a$: $a+1 \ge -2a \Rightarrow 3a \ge -1 \Rightarrow a \ge -\frac{1}{3}$.
Тогда $x-a = 1 \Rightarrow x = a+1$.
Этот корень должен лежать в $[0,1]$ и удовлетворять ОДЗ.
Условия:
- $0 \le a+1 \le 1 \Rightarrow -1 \le a \le 0$.
- $x > a$ выполняется автоматически.
- $x \ge -2a$: $a+1 \ge -2a \Rightarrow 3a \ge -1 \Rightarrow a \ge -\frac{1}{3}$.
Результат:
в случае 1 корень $x=a+1$ существует при $a \in \left[-\frac{1}{3}, 0\right]$.
Шаг 4
Случай 2: $\sqrt{x+2a} = x-1$.
Заметим: при $x \in [0,1]$ правая часть $x-1 \le 0$, а левая $\sqrt{x+2a} \ge 0$.
Равенство возможно только если обе части равны 0.
Система: $x-1 = 0$ и $\sqrt{x+2a} = 0$.
Отсюда $x=1$ и $1+2a=0 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
Проверим ОДЗ: $x > a$ ($1 > -0.5$) и $x \ge -2a$ ($1 \ge 1$) верны.
Заметим: при $x \in [0,1]$ правая часть $x-1 \le 0$, а левая $\sqrt{x+2a} \ge 0$.
Равенство возможно только если обе части равны 0.
Система: $x-1 = 0$ и $\sqrt{x+2a} = 0$.
Отсюда $x=1$ и $1+2a=0 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
Проверим ОДЗ: $x > a$ ($1 > -0.5$) и $x \ge -2a$ ($1 \ge 1$) верны.
Результат:
в случае 2 единственный возможный корень $x=1$ при $a=-\frac{1}{2}$.
Шаг 5
Объединяем случаи для условия "ровно один корень".
При $a \in \left[-\frac{1}{3}, 0\right]$ есть корень $x=a+1$ из случая 1. Случай 2 для этих $a$ корней не дает (так как требует $a=-\frac{1}{2}$, что не входит в этот интервал).
При $a=-\frac{1}{2}$ случай 1 не дает корня (так как $a < -\frac{1}{3}$), но случай 2 дает корень $x=1$.
При $a=0$ случай 1 дает $x=1$, а случай 2 не дает корней (проверка: $\sqrt{x} = x-1$ при $x=1$ дает $1=0$ — ложно).
При $a < -\frac{1}{2}$ и при $a > 0$ оба случая не дают корней на $[0,1]$.
При $a \in \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}\right)$ оба случая также не дают корней.
При $a \in \left[-\frac{1}{3}, 0\right]$ есть корень $x=a+1$ из случая 1. Случай 2 для этих $a$ корней не дает (так как требует $a=-\frac{1}{2}$, что не входит в этот интервал).
При $a=-\frac{1}{2}$ случай 1 не дает корня (так как $a < -\frac{1}{3}$), но случай 2 дает корень $x=1$.
При $a=0$ случай 1 дает $x=1$, а случай 2 не дает корней (проверка: $\sqrt{x} = x-1$ при $x=1$ дает $1=0$ — ложно).
При $a < -\frac{1}{2}$ и при $a > 0$ оба случая не дают корней на $[0,1]$.
При $a \in \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}\right)$ оба случая также не дают корней.
Шаг 6
Итог.
Ровно один корень на отрезке $[0,1]$ уравнение имеет при $a \in \left[-\frac{1}{3}, 0\right]$ и при $a = -\frac{1}{2}$.
Ровно один корень на отрезке $[0,1]$ уравнение имеет при $a \in \left[-\frac{1}{3}, 0\right]$ и при $a = -\frac{1}{2}$.
Окончательный ответ:
$\left[-\frac{1}{3}, 0\right] \cup \left\{-\frac{1}{2}\right\}$