Шаг 1
Введём замену $t = \log_3 x$. Тогда $\log_3(81x) = \log_3 81 + \log_3 x = 4 + t$.
Результат:
Исходное неравенство принимает вид $\frac{t+4}{t-4} + \frac{t-4}{t+4} \ge \frac{24 - 8t}{t^2 - 16}$.
Шаг 2
Упростим левую часть: $\frac{(t+4)^2 + (t-4)^2}{(t-4)(t+4)} = \frac{2(t^2+16)}{t^2-16}$.
Правая часть уже имеет вид $\frac{24-8t}{t^2-16}$.
Правая часть уже имеет вид $\frac{24-8t}{t^2-16}$.
Результат:
Неравенство приводится к $\frac{2(t^2+16)}{t^2-16} \ge \frac{24-8t}{t^2-16}$.
Шаг 3
Рассмотрим знаменатель $t^2 - 16 = (t-4)(t+4)$.
1) Если $t^2 - 16 > 0$ (т.е. $t > 4$ или $t < -4$), умножаем на знаменатель, сохраняя знак:
$2(t^2+16) \ge 24 - 8t \Rightarrow 2t^2 + 32 \ge 24 - 8t \Rightarrow 2t^2 + 8t + 8 \ge 0 \Rightarrow t^2 + 4t + 4 \ge 0 \Rightarrow (t+2)^2 \ge 0$.
Это верно для всех $t$, поэтому подходят все $t > 4$ и все $t < -4$.
2) Если $t^2 - 16 < 0$ (т.е. $-4 < t < 4$), умножаем на знаменатель и меняем знак неравенства:
$2(t^2+16) \le 24 - 8t \Rightarrow (t+2)^2 \le 0$.
Это выполняется только при $t = -2$, что входит в интервал $(-4, 4)$.
1) Если $t^2 - 16 > 0$ (т.е. $t > 4$ или $t < -4$), умножаем на знаменатель, сохраняя знак:
$2(t^2+16) \ge 24 - 8t \Rightarrow 2t^2 + 32 \ge 24 - 8t \Rightarrow 2t^2 + 8t + 8 \ge 0 \Rightarrow t^2 + 4t + 4 \ge 0 \Rightarrow (t+2)^2 \ge 0$.
Это верно для всех $t$, поэтому подходят все $t > 4$ и все $t < -4$.
2) Если $t^2 - 16 < 0$ (т.е. $-4 < t < 4$), умножаем на знаменатель и меняем знак неравенства:
$2(t^2+16) \le 24 - 8t \Rightarrow (t+2)^2 \le 0$.
Это выполняется только при $t = -2$, что входит в интервал $(-4, 4)$.
Результат:
Объединение решений: $t < -4$, $t = -2$, $t > 4$.
Шаг 4
Возвращаемся к $x = 3^t$.
- $t < -4 \Rightarrow x \in (0, 3^{-4}) = (0, \frac{1}{81})$.
- $t = -2 \Rightarrow x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
- $t > 4 \Rightarrow x \in (3^4, \infty) = (81, \infty)$.
- $t < -4 \Rightarrow x \in (0, 3^{-4}) = (0, \frac{1}{81})$.
- $t = -2 \Rightarrow x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
- $t > 4 \Rightarrow x \in (3^4, \infty) = (81, \infty)$.
Результат:
Область определения исходного неравенства $x > 0$ учтена.
Окончательный ответ:
$x \in \left(0, \frac{1}{81}\right) \cup \left\{\frac{1}{9}\right\} \cup \left(81, \infty\right)$.