Шаг 1
Найдём ОДЗ.
Логарифм определён при положительном аргументе.
1) $x^{2} - 13x + 42 > 0$. Корни: $x = 6$, $x = 7$. Парабола ветвями вверх, поэтому $x < 6$ или $x > 7$.
2) $\frac{x-7}{7x-6} > 0$. Корни числителя: $x = 7$, знаменателя: $x = \frac{6}{7}$. Метод интервалов даёт $x \in \left(-\infty, \frac{6}{7}\right) \cup (7, +\infty)$.
Пересекая условия, получаем ОДЗ: $x \in \left(-\infty, \frac{6}{7}\right) \cup (7, +\infty)$.
Логарифм определён при положительном аргументе.
1) $x^{2} - 13x + 42 > 0$. Корни: $x = 6$, $x = 7$. Парабола ветвями вверх, поэтому $x < 6$ или $x > 7$.
2) $\frac{x-7}{7x-6} > 0$. Корни числителя: $x = 7$, знаменателя: $x = \frac{6}{7}$. Метод интервалов даёт $x \in \left(-\infty, \frac{6}{7}\right) \cup (7, +\infty)$.
Пересекая условия, получаем ОДЗ: $x \in \left(-\infty, \frac{6}{7}\right) \cup (7, +\infty)$.
Шаг 2
Преобразуем неравенство.
Исходное: $7 \log_{12} \left(x^{2} - 13x + 42\right) \le 8 + \log_{12} \left(\frac{x-7}{7x-6}\right)$.
Переносим логарифм: $7 \log_{12} \left(x^{2} - 13x + 42\right) - \log_{12} \left(\frac{x-7}{7x-6}\right) \le 8$.
Используем свойства: $7 \log_{12} A = \log_{12} A^{7}$ и разность логарифмов.
Получаем: $\log_{12} \left( \frac{\left(x^{2} - 13x + 42\right)^{7}}{\frac{x-7}{7x-6}} \right) \le 8$.
Упрощаем дробь: $\frac{\left(x^{2} - 13x + 42\right)^{7}}{\frac{x-7}{7x-6}} = \left(x^{2} - 13x + 42\right)^{7} \cdot \frac{7x-6}{x-7}$.
Итак: $\log_{12} \left( \left(x^{2} - 13x + 42\right)^{7} \cdot \frac{7x-6}{x-7} \right) \le 8$.
Исходное: $7 \log_{12} \left(x^{2} - 13x + 42\right) \le 8 + \log_{12} \left(\frac{x-7}{7x-6}\right)$.
Переносим логарифм: $7 \log_{12} \left(x^{2} - 13x + 42\right) - \log_{12} \left(\frac{x-7}{7x-6}\right) \le 8$.
Используем свойства: $7 \log_{12} A = \log_{12} A^{7}$ и разность логарифмов.
Получаем: $\log_{12} \left( \frac{\left(x^{2} - 13x + 42\right)^{7}}{\frac{x-7}{7x-6}} \right) \le 8$.
Упрощаем дробь: $\frac{\left(x^{2} - 13x + 42\right)^{7}}{\frac{x-7}{7x-6}} = \left(x^{2} - 13x + 42\right)^{7} \cdot \frac{7x-6}{x-7}$.
Итак: $\log_{12} \left( \left(x^{2} - 13x + 42\right)^{7} \cdot \frac{7x-6}{x-7} \right) \le 8$.
Шаг 3
Упростим выражение под логарифмом.
Заметим: $x^{2} - 13x + 42 = (x-6)(x-7)$.
Тогда $\left(x^{2} - 13x + 42\right)^{7} = (x-6)^{7}(x-7)^{7}$.
Подставляем: $(x-6)^{7}(x-7)^{7} \cdot \frac{7x-6}{x-7} = (x-6)^{7}(x-7)^{6}(7x-6)$.
Неравенство принимает вид: $\log_{12} \left( (x-6)^{7}(x-7)^{6}(7x-6) \right) \le 8$.
Заметим: $x^{2} - 13x + 42 = (x-6)(x-7)$.
Тогда $\left(x^{2} - 13x + 42\right)^{7} = (x-6)^{7}(x-7)^{7}$.
Подставляем: $(x-6)^{7}(x-7)^{7} \cdot \frac{7x-6}{x-7} = (x-6)^{7}(x-7)^{6}(7x-6)$.
Неравенство принимает вид: $\log_{12} \left( (x-6)^{7}(x-7)^{6}(7x-6) \right) \le 8$.
Шаг 4
Переходим к алгебраическому неравенству.
Так как основание логарифма $12 > 1$, функция возрастает, поэтому:
$0 < (x-6)^{7}(x-7)^{6}(7x-6) \le 12^{8}$.
Так как основание логарифма $12 > 1$, функция возрастает, поэтому:
$0 < (x-6)^{7}(x-7)^{6}(7x-6) \le 12^{8}$.
Шаг 5
Анализ знака.
На ОДЗ $(x-7)^{6} > 0$ (так как $x \neq 7$). Разделим неравенство на этот положительный множитель:
$0 < (x-6)^{7}(7x-6) \le \frac{12^{8}}{(x-7)^{6}}$.
Условие положительности: $(x-6)^{7}(7x-6) > 0$. Поскольку степень нечётная, это эквивалентно $(x-6)(7x-6) > 0$.
Корни: $x = 6$, $x = \frac{6}{7}$. Метод интервалов даёт $x \in \left(-\infty, \frac{6}{7}\right) \cup (6, +\infty)$.
С учётом ОДЗ получаем то же самое: $x \in \left(-\infty, \frac{6}{7}\right) \cup (7, +\infty)$.
На ОДЗ $(x-7)^{6} > 0$ (так как $x \neq 7$). Разделим неравенство на этот положительный множитель:
$0 < (x-6)^{7}(7x-6) \le \frac{12^{8}}{(x-7)^{6}}$.
Условие положительности: $(x-6)^{7}(7x-6) > 0$. Поскольку степень нечётная, это эквивалентно $(x-6)(7x-6) > 0$.
Корни: $x = 6$, $x = \frac{6}{7}$. Метод интервалов даёт $x \in \left(-\infty, \frac{6}{7}\right) \cup (6, +\infty)$.
С учётом ОДЗ получаем то же самое: $x \in \left(-\infty, \frac{6}{7}\right) \cup (7, +\infty)$.
Шаг 6
Решаем $(x-6)^{7}(7x-6) \le \frac{12^{8}}{(x-7)^{6}}$.
Рассмотрим функцию $h(x) = (x-6)^{7}(x-7)^{6}(7x-6)$. Исходное неравенство эквивалентно $h(x) \le 12^{8}$.
Анализируем на интервалах ОДЗ.
1) $x \in \left(-\infty, \frac{6}{7}\right)$: здесь $h(x) > 0$. При $x \to -\infty$ $h(x) \to +\infty$, при $x \to \frac{6}{7}^{-}$ $h(x) \to 0^{+}$. Значит, уравнение $h(x) = 12^{8}$ имеет один корень $x_{0}$. Подбором находим $x_{0} \approx 0.8455$. Неравенство $h(x) \le 12^{8}$ выполняется при $x \in [x_{0}, \frac{6}{7})$.
2) $x \in (7, +\infty)$: здесь $h(x) > 0$. При $x \to 7^{+}$ $h(x) \to 0^{+}$, при $x \to +\infty$ $h(x) \to +\infty$. Уравнение $h(x) = 12^{8}$ имеет один корень $x_{1}$. Подбором находим $x_{1} \approx 9.855$. Неравенство выполняется при $x \in (7, x_{1}]$.
Рассмотрим функцию $h(x) = (x-6)^{7}(x-7)^{6}(7x-6)$. Исходное неравенство эквивалентно $h(x) \le 12^{8}$.
Анализируем на интервалах ОДЗ.
1) $x \in \left(-\infty, \frac{6}{7}\right)$: здесь $h(x) > 0$. При $x \to -\infty$ $h(x) \to +\infty$, при $x \to \frac{6}{7}^{-}$ $h(x) \to 0^{+}$. Значит, уравнение $h(x) = 12^{8}$ имеет один корень $x_{0}$. Подбором находим $x_{0} \approx 0.8455$. Неравенство $h(x) \le 12^{8}$ выполняется при $x \in [x_{0}, \frac{6}{7})$.
2) $x \in (7, +\infty)$: здесь $h(x) > 0$. При $x \to 7^{+}$ $h(x) \to 0^{+}$, при $x \to +\infty$ $h(x) \to +\infty$. Уравнение $h(x) = 12^{8}$ имеет один корень $x_{1}$. Подбором находим $x_{1} \approx 9.855$. Неравенство выполняется при $x \in (7, x_{1}]$.
Шаг 7
Объединяем решения.
С учётом ОДЗ и приближённых значений:
$x \in [0.85, 0.86) \cup (7, 9.86]$.
С учётом ОДЗ и приближённых значений:
$x \in [0.85, 0.86) \cup (7, 9.86]$.
Окончательный ответ:
$[0.85, 0.86) \cup (7, 9.86]$