Задание 9CA156

Исходное неравенство: $\frac{10^x - 25 \cdot 2^x - 2 \cdot 5^x + 50}{5x - x^2 - 4} \ge 0$.

Преобразуем числитель. Заметим, $10^x = 2^x \cdot 5^x$. Группируем:
$(10^x - 2 \cdot 5^x) - (25 \cdot 2^x - 50) = 5^x(2^x - 2) - 25(2^x - 2) = (2^x - 2)(5^x - 25)$.

Преобразуем знаменатель: $5x - x^2 - 4 = -x^2 + 5x - 4 = -(x^2 - 5x + 4) = -(x - 1)(x - 4) = (1 - x)(x - 4)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(2^x - 2)(5^x - 25)}{(1 - x)(x - 4)} \ge 0$.

Найдём нули числителя: $2^x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$; $5^x - 25 = 0 \Rightarrow 5^x = 5^2 \Rightarrow x = 2$.
Нули знаменателя: $(1 - x)(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 1$ или $x = 4$.
Точка $x = 1$ — общая (нуль числителя и знаменателя), поэтому выражение не определено. Точка $x = 4$ также не входит.

Определим знаки множителей на интервалах:
$(2^x - 2)$: возрастает, $<0$ при $x<1$, $>0$ при $x>1$.
$(5^x - 25)$: возрастает, $<0$ при $x<2$, $>0$ при $x>2$.
$(1 - x)$: $>0$ при $x<1$, $<0$ при $x>1$.
$(x - 4)$: $<0$ при $x<4$, $>0$ при $x>4$.

Составим таблицу знаков на интервалах: $(-\infty, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(4, +\infty)$.
- На $(-\infty, 1)$: знаки $(-)(-)/(+)(-) = (+)/(-) = -$.
- На $(1, 2)$: знаки $(+)(-)/(-)(-) = (-)/(+) = -$.
- На $(2, 4)$: знаки $(+)(+)/(-)(-) = (+)/(+) = +$.
- На $(4, +\infty)$: знаки $(+)(+)/(-)(+) = (+)/(-) = -$.

Решение $\ge 0$: интервал $(2, 4)$ со знаком "+". Точка $x = 2$ (числитель ноль) входит, $x = 1$ и $x = 4$ не входят.