Шаг 1
Преобразуем второе уравнение.
$xy + 1 = x + y \Rightarrow xy - x - y + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)(y-1) = 0$.
$xy + 1 = x + y \Rightarrow xy - x - y + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)(y-1) = 0$.
Результат:
$x = 1$ или $y = 1$.
Шаг 2
Подставим каждый случай в первое уравнение.
При $x = 1$: $a \cdot 1^{2} + a y^{2} + 2a \cdot 1 + (a+2)y + 1 = 0 \Rightarrow a y^{2} + (a+2)y + 3a + 1 = 0$ (уравнение для $y$).
При $y = 1$: $a x^{2} + a \cdot 1^{2} + 2a x + (a+2)\cdot 1 + 1 = 0 \Rightarrow a x^{2} + 2a x + 2a + 3 = 0$ (уравнение для $x$).
При $x = 1$: $a \cdot 1^{2} + a y^{2} + 2a \cdot 1 + (a+2)y + 1 = 0 \Rightarrow a y^{2} + (a+2)y + 3a + 1 = 0$ (уравнение для $y$).
При $y = 1$: $a x^{2} + a \cdot 1^{2} + 2a x + (a+2)\cdot 1 + 1 = 0 \Rightarrow a x^{2} + 2a x + 2a + 3 = 0$ (уравнение для $x$).
Результат:
Система сводится к двум квадратным уравнениям: для $y$ (при $x=1$) и для $x$ (при $y=1$).
Шаг 3
Условие ровно четыре различных решения.
Оба квадратных уравнения должны иметь по два различных корня, и ни одна точка $(1, y)$ не должна совпадать с точкой $(x, 1)$. Совпадение возможно только в точке $(1,1)$.
Оба квадратных уравнения должны иметь по два различных корня, и ни одна точка $(1, y)$ не должна совпадать с точкой $(x, 1)$. Совпадение возможно только в точке $(1,1)$.
Результат:
Необходимые условия: $D_{1} > 0$, $D_{2} > 0$, и точка $(1,1)$ не должна быть решением.
Шаг 4
Найдем дискриминанты и интервалы.
Для $a y^{2} + (a+2)y + (3a+1) = 0$: $D_{1} = (a+2)^{2} - 4a(3a+1) = -11a^{2} + 4$.
$D_{1} > 0 \Rightarrow -11a^{2} + 4 > 0 \Rightarrow a^{2} < \frac{4}{11} \Rightarrow |a| < \frac{2}{\sqrt{11}}$.
Для $a x^{2} + 2a x + (2a+3) = 0$: $D_{2} = (2a)^{2} - 4a(2a+3) = -4a^{2} - 12a = -4a(a+3)$.
$D_{2} > 0 \Rightarrow -4a(a+3) > 0 \Rightarrow a(a+3) < 0 \Rightarrow a \in (-3, 0)$.
Пересечение: $a \in \left( -\frac{2}{\sqrt{11}}, 0 \right)$, так как $-\frac{2}{\sqrt{11}} \approx -0.603 > -3$.
Для $a y^{2} + (a+2)y + (3a+1) = 0$: $D_{1} = (a+2)^{2} - 4a(3a+1) = -11a^{2} + 4$.
$D_{1} > 0 \Rightarrow -11a^{2} + 4 > 0 \Rightarrow a^{2} < \frac{4}{11} \Rightarrow |a| < \frac{2}{\sqrt{11}}$.
Для $a x^{2} + 2a x + (2a+3) = 0$: $D_{2} = (2a)^{2} - 4a(2a+3) = -4a^{2} - 12a = -4a(a+3)$.
$D_{2} > 0 \Rightarrow -4a(a+3) > 0 \Rightarrow a(a+3) < 0 \Rightarrow a \in (-3, 0)$.
Пересечение: $a \in \left( -\frac{2}{\sqrt{11}}, 0 \right)$, так как $-\frac{2}{\sqrt{11}} \approx -0.603 > -3$.
Результат:
Предварительно $a \in \left( -\frac{2}{\sqrt{11}}, 0 \right)$.
Шаг 5
Исключим точку $(1,1)$.
Точка $(1,1)$ удовлетворяет первому уравнению при $5a + 3 = 0 \Rightarrow a = -\frac{3}{5}$.
При $a = -\frac{3}{5}$ проверяем: оба квадратных уравнения имеют корень $1$ (подстановкой) и по второму корню (по теореме Виета). Получаем решения: $(1,1)$, $(1, \frac{4}{3})$, $(-3,1)$ — всего три решения.
Точка $(1,1)$ удовлетворяет первому уравнению при $5a + 3 = 0 \Rightarrow a = -\frac{3}{5}$.
При $a = -\frac{3}{5}$ проверяем: оба квадратных уравнения имеют корень $1$ (подстановкой) и по второму корню (по теореме Виета). Получаем решения: $(1,1)$, $(1, \frac{4}{3})$, $(-3,1)$ — всего три решения.
Результат:
$a = -\frac{3}{5}$ нужно исключить.
Шаг 6
Проверим границы интервала.
При $a = 0$: первое уравнение дает $2y+1=0$ (один корень), второе — $3=0$ (нет корней). Всего одно решение.
При $a = -\frac{2}{\sqrt{11}}$: $D_{1} = 0$ (один корень для $y$), $D_{2} > 0$ (два корня для $x$). Совпадения с $(1,1)$ нет, так как $a \neq -\frac{3}{5}$. Всего три решения.
Граничные точки не подходят.
При $a = 0$: первое уравнение дает $2y+1=0$ (один корень), второе — $3=0$ (нет корней). Всего одно решение.
При $a = -\frac{2}{\sqrt{11}}$: $D_{1} = 0$ (один корень для $y$), $D_{2} > 0$ (два корня для $x$). Совпадения с $(1,1)$ нет, так как $a \neq -\frac{3}{5}$. Всего три решения.
Граничные точки не подходят.
Результат:
$a \in \left( -\frac{2}{\sqrt{11}}, 0 \right) \setminus \left\{ -\frac{3}{5} \right\}$.
Окончательный ответ:
$\left( -\frac{2}{\sqrt{11}}, 0 \right) \setminus \left\{ -\frac{3}{5} \right\}$