Задание A3E2FC

Пусть в школе №2 изначально было $n_2$ учащихся. Их сумма баллов $S_2 = 42n_2$. После перехода ученика с баллом $x$ из школы №1, новый средний балл в школе №2 стал $42 \cdot 0.9 = 37.8$. Уравнение: $\frac{42n_2 + x}{n_2 + 1} = 37.8$. Умножаем: $42n_2 + x = 37.8n_2 + 37.8$. Преобразуем: $x = 37.8 - 4.2n_2$. Умножаем на 10: $10x = 378 - 42n_2$. Так как $x$ — натуральное число, $378 - 42n_2$ должно делиться на 10 и быть положительным. Перебирая $n_2 \geq 2$, находим единственное решение: $n_2 = 4$, тогда $10x = 378 - 168 = 210$, откуда $x = 21$.

Пусть в школе №1 изначально было $n_1$ учащихся, их средний балл $a_1$ (целое). Сумма баллов $S_1 = a_1 n_1$. После ухода ученика с 21 баллом новый средний балл стал $0.9a_1$. Уравнение: $\frac{a_1 n_1 - 21}{n_1 - 1} = 0.9a_1$. Умножаем: $a_1 n_1 - 21 = 0.9a_1 n_1 - 0.9a_1$. Переносим: $0.1a_1 n_1 + 0.9a_1 = 21$. Умножаем на 10: $a_1 n_1 + 9a_1 = 210$, то есть $a_1 (n_1 + 9) = 210$. Так как $a_1$ — натуральное, $n_1 + 9$ — делитель 210. Для максимизации $n_1$ берём наименьший $a_1 = 2$, тогда $n_1 + 9 = 105$, откуда $n_1 = 96$.

В школе №2 изначально 4 ученика с суммой баллов $42 \cdot 4 = 168$. Все они набрали больше 21 балла. Чтобы максимизировать балл одного из них, минимизируем баллы трёх других: минимально возможные — по 22 балла. Их сумма: $3 \cdot 22 = 66$. Тогда максимальный возможный балл четвёртого ученика: $168 - 66 = 102$.