Шаг 1
В треугольнике $ACB$, вписанном в окружность основания, $AC$ — диаметр. Следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$. Дано $\angle ACB = 30^\circ$, поэтому $\angle CAB = 60^\circ$. Стороны относятся как $1 : \sqrt{3} : 2$.
Результат:
$AB$ лежит против угла $30^\circ$, поэтому $AB = \sqrt{2}$ задаёт масштаб $k = \sqrt{2}$. Тогда $AC = 2k = 2\sqrt{2}$, $BC = k\sqrt{3} = \sqrt{6}$. Радиус основания $R = AC/2 = \sqrt{2}$.
Шаг 2
Введём систему координат. Поместим центр основания в $(0,0,0)$. Пусть $A = (-\sqrt{2}, 0, 0)$, $C = (\sqrt{2}, 0, 0)$ (так как $AC$ — диаметр). Для точки $B$, используя углы и длины, получаем $B = \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{\frac{3}{2}}, 0 \right)$.
Результат:
Координаты $A$, $B$, $C$ определены.
Шаг 3
Точка $C_1$ находится над $C$ на высоте $CC_1 = 2$, поэтому $C_1 = (\sqrt{2}, 0, 2)$. Высота цилиндра $h = 2$.
Результат:
Координаты $C_1$ найдены.
Шаг 4
Найдём векторы: $\overrightarrow{AC_1} = (2\sqrt{2}, 0, 2)$, упростим до $\vec{v} = (\sqrt{2}, 0, 1)$. $\overrightarrow{BC} = \left( \sqrt{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right), 0 - \sqrt{\frac{3}{2}}, 0 \right) = \left( \frac{3\sqrt{2}}{2}, -\sqrt{\frac{3}{2}}, 0 \right)$.
Результат:
Векторы $\vec{v}$ и $\vec{w} = \overrightarrow{BC}$ готовы.
Шаг 5
Вычислим угол между $\vec{v}$ и $\vec{w}$.
Скалярное произведение: $\vec{v} \cdot \vec{w} = \sqrt{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} + 0 \cdot \left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\right) + 1 \cdot 0 = 3$.
Длины: $|\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$, $|\vec{w}| = \sqrt{\left( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( -\sqrt{\frac{3}{2}} \right)^2} = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{3}{2}} = \sqrt{6}$.
Тогда $\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, значит $\theta = 45^\circ$.
Скалярное произведение: $\vec{v} \cdot \vec{w} = \sqrt{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} + 0 \cdot \left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\right) + 1 \cdot 0 = 3$.
Длины: $|\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$, $|\vec{w}| = \sqrt{\left( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( -\sqrt{\frac{3}{2}} \right)^2} = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{3}{2}} = \sqrt{6}$.
Тогда $\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, значит $\theta = 45^\circ$.
Результат:
Угол между $AC_1$ и $BC$ равен $45^\circ$.
Шаг 6
Объём цилиндра: $V = \pi R^2 h = \pi \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 2 = \pi \cdot 2 \cdot 2 = 4\pi$.
Результат:
Объём цилиндра равен $4\pi$.
Окончательный ответ:
$4\pi$