Шаг 1
Доказательство равенства $AC = CE$.
Вписанный пятиугольник $ABCDE$ удовлетворяет условиям: $AB = CD = 3$ и $BC = DE = 4$. В окружности равные хорды стягивают равные дуги. Поэтому дуга $AB$ равна дуге $CD$, и дуга $BC$ равна дуге $DE$. Сложив эти равенства, получаем, что дуга $ABC$ равна дуге $CDE$. Следовательно, стягивающие их хорды $AC$ и $CE$ равны: $AC = CE$.
Вписанный пятиугольник $ABCDE$ удовлетворяет условиям: $AB = CD = 3$ и $BC = DE = 4$. В окружности равные хорды стягивают равные дуги. Поэтому дуга $AB$ равна дуге $CD$, и дуга $BC$ равна дуге $DE$. Сложив эти равенства, получаем, что дуга $ABC$ равна дуге $CDE$. Следовательно, стягивающие их хорды $AC$ и $CE$ равны: $AC = CE$.
Шаг 2
Применение теоремы Птолемея для нахождения $BE$.
Для вписанного пятиугольника $ABCDE$ верна обобщенная теорема Птолемея: $AB \cdot CD \cdot AE + AB \cdot DE \cdot AC + BC \cdot DE \cdot AD = BC \cdot CD \cdot AE + AB \cdot BC \cdot CE + AD \cdot CD \cdot BE$.
Подставим известные длины: $AB = CD = 3$, $BC = DE = 4$, $AD = 6$, и учтем, что $AC = CE$ (доказано в пункте а)). Обозначим $AC = CE = x$, $AE = y$, $BE = z$.
Уравнение принимает вид:
$3 \cdot 3 \cdot y + 3 \cdot 4 \cdot x + 4 \cdot 4 \cdot 6 = 4 \cdot 3 \cdot y + 3 \cdot 4 \cdot x + 6 \cdot 3 \cdot z$.
Упростим: $9y + 12x + 96 = 12y + 12x + 18z$.
Сокращая $12x$ и приводя подобные, получаем: $96 = 3y + 18z$, или $32 = y + 6z$ (уравнение 1).
Для вписанного пятиугольника $ABCDE$ верна обобщенная теорема Птолемея: $AB \cdot CD \cdot AE + AB \cdot DE \cdot AC + BC \cdot DE \cdot AD = BC \cdot CD \cdot AE + AB \cdot BC \cdot CE + AD \cdot CD \cdot BE$.
Подставим известные длины: $AB = CD = 3$, $BC = DE = 4$, $AD = 6$, и учтем, что $AC = CE$ (доказано в пункте а)). Обозначим $AC = CE = x$, $AE = y$, $BE = z$.
Уравнение принимает вид:
$3 \cdot 3 \cdot y + 3 \cdot 4 \cdot x + 4 \cdot 4 \cdot 6 = 4 \cdot 3 \cdot y + 3 \cdot 4 \cdot x + 6 \cdot 3 \cdot z$.
Упростим: $9y + 12x + 96 = 12y + 12x + 18z$.
Сокращая $12x$ и приводя подобные, получаем: $96 = 3y + 18z$, или $32 = y + 6z$ (уравнение 1).
Шаг 3
Составление второго уравнения.
Рассмотрим вписанный четырехугольник $ABCE$. Для него по теореме Птолемея: $AB \cdot CE + BC \cdot AE = AC \cdot BE$.
Подставляем: $3 \cdot x + 4 \cdot y = x \cdot z$, откуда $3x + 4y = xz$ (уравнение 2).
Рассмотрим вписанный четырехугольник $ABCE$. Для него по теореме Птолемея: $AB \cdot CE + BC \cdot AE = AC \cdot BE$.
Подставляем: $3 \cdot x + 4 \cdot y = x \cdot z$, откуда $3x + 4y = xz$ (уравнение 2).
Шаг 4
Составление третьего уравнения.
Рассмотрим вписанный четырехугольник $ACDE$. По теореме Птолемея: $AC \cdot DE + CD \cdot AE = AD \cdot CE$.
Подставляем: $x \cdot 4 + 3 \cdot y = 6 \cdot x$, откуда $4x + 3y = 6x$, или $3y = 2x$, следовательно $x = \frac{3}{2}y$ (уравнение 3).
Рассмотрим вписанный четырехугольник $ACDE$. По теореме Птолемея: $AC \cdot DE + CD \cdot AE = AD \cdot CE$.
Подставляем: $x \cdot 4 + 3 \cdot y = 6 \cdot x$, откуда $4x + 3y = 6x$, или $3y = 2x$, следовательно $x = \frac{3}{2}y$ (уравнение 3).
Шаг 5
Решение системы уравнений.
Подставим выражение для $x$ из уравнения 3 в уравнение 2:
$3 \cdot \left( \frac{3}{2}y \right) + 4y = \left( \frac{3}{2}y \right) \cdot z$.
Упрощаем: $\frac{9}{2}y + 4y = \frac{3}{2}y z$, $\frac{9y + 8y}{2} = \frac{3}{2}y z$, $\frac{17y}{2} = \frac{3}{2}y z$.
Поскольку $y > 0$, делим на $\frac{y}{2}$: $17 = 3z$, откуда $z = \frac{17}{3}$.
Подставим выражение для $x$ из уравнения 3 в уравнение 2:
$3 \cdot \left( \frac{3}{2}y \right) + 4y = \left( \frac{3}{2}y \right) \cdot z$.
Упрощаем: $\frac{9}{2}y + 4y = \frac{3}{2}y z$, $\frac{9y + 8y}{2} = \frac{3}{2}y z$, $\frac{17y}{2} = \frac{3}{2}y z$.
Поскольку $y > 0$, делим на $\frac{y}{2}$: $17 = 3z$, откуда $z = \frac{17}{3}$.
Результат:
Длина диагонали $BE$ равна $\frac{17}{3}$.
Окончательный ответ:
$\frac{17}{3}$.