Шаг 1
Анализ второго уравнения. $4|y| + x^2 + 8x = 0$ преобразуем к $|y| = -\frac{x^2 + 8x}{4}$. Правая часть должна быть неотрицательной: $-\frac{x^2 + 8x}{4} \ge 0 \Rightarrow x^2 + 8x \le 0$. Решаем неравенство: $x(x+8) \le 0$. Результат: $x \in [-8, 0]$. Шаг 2: График второго уравнения. При $x \in [-8, 0]$ имеем $|y| = -\frac{x^2 + 8x}{4} = -\frac{(x+4)^2 - 16}{4} = 4 - \frac{(x+4)^2}{4}$. Это означает $y = \pm \left( 4 - \frac{(x+4)^2}{4} \right)$. График симметричен относительно оси $Ox$ и представляет собой две дуги параболы, направленные вверх и вниз. Вершины этих дуг находятся в точках $(-4, 4)$ и $(-4, -4)$, а концы на оси $Ox$ в точках $(-8, 0)$ и $(0, 0)$. Результат: Второе уравнение задаёт замкнутую симметричную фигуру (овал) с центром в точке $(-4, 0)$. Шаг 3: Анализ первого уравнения. $y = |x-a| - 4$ — это "уголок" с вершиной в точке $(a, -4)$, ветви направлены вверх под углом $45^{\circ}$. Результат: График первого уравнения — ломаная из двух лучей. Шаг 4: Условие четырёх решений. Система имеет ровно четыре решения, когда график "уголка" пересекает овал ровно в четырёх точках. Овал симметричен относительно оси $Ox$, но не относительно оси $Oy$. Вершина уголка всегда имеет ординату $-4$. Рассмотрим возможные положения уголка относительно овала. Шаг 5: Критические положения уголка. 1) Вершина уголка $(a, -4)$ лежит внутри овала. Проверим, когда точка $(-4, -4)$ (нижняя вершина овала) принадлежит уголку: $-4 = | -4 - a | - 4 \Rightarrow | -4 - a | = 0 \Rightarrow a = -4$. При $a = -4$ вершина уголка совпадает с нижней вершиной овала, и уголок касается овала изнутри — решений будет 3 (одно касание и два пересечения другой ветвью). 2) Вершина уголка на границе овала (но не в вершине овала). Подставим $y = |x-a| - 4$ во второе уравнение, учитывая $|y| = |\,|x-a| - 4\,|$. Уравнение: $4|\,|x-a| - 4\,| + x^2 + 8x = 0$, где $x \in [-8, 0]$. Нас интересуют случаи, когда уголок касается овала (касание даёт два совпадающих решения). Проще анализировать графически. Шаг 6: Графический анализ. Овал ограничен: по $x$ от $-8$ до $0$, по $y$ от $-4$ до $4$. Вершина уголка $(a, -4)$ движется по горизонтальной прямой $y = -4$. - Если вершина далеко слева ($a \ll -8$), то уголок пересекает овал в двух точках (левая ветвь пересекает овал дважды). - При движении вершины вправо наступает момент, когда левая ветвь уголка касается левой части овала. Это первое критическое значение $a$. - При дальнейшем движении вершины левая ветвь пересекает овал в двух точках, а правая ветвь тоже начинает пересекать овал — получаем 4 точки пересечения. - Когда вершина оказывается внутри овала, но не в точке $(-4, -4)$, обе ветви пересекают овал — всего 4 точки. - Когда вершина проходит точку $(-4, -4)$, получаем 3 точки (касание изнутри). - При движении дальше вправо правая ветвь пересекает овал в двух точках, а левая ветвь может касаться или пересекать овал. - Наконец, при слишком большом $a$ уголок пересекает овал только в двух точках (правая ветвь). Шаг 7: Нахождение критических значений $a$. Рассмотрим касание уголка и овала. Уголок состоит из двух лучей: $y = x - a - 4$ при $x \ge a$ и $y = -x + a - 4$ при $x \le a$. Овал состоит из двух дуг: верхней $y = 4 - \frac{(x+4)^2}{4}$ и нижней $y = -4 + \frac{(x+4)^2}{4}$ (при $x \in [-8, 0]$). Касание возможно с верхней или нижней дугой. 1) Касание левой ветвью уголка ($y = -x + a - 4$, $x \le a$) нижней дуги овала ($y = -4 + \frac{(x+4)^2}{4}$). Уравнение: $-x + a - 4 = -4 + \frac{(x+4)^2}{4}$. Упрощаем: $-x + a = \frac{(x+4)^2}{4} \Rightarrow 4(-x + a) = (x+4)^2 \Rightarrow -4x + 4a = x^2 + 8x + 16$. Получаем $x^2 + 12x + 16 - 4a = 0$. Условие касания: дискриминант равен нулю. $D = 144 - 4(16 - 4a) = 144 - 64 + 16a = 80 + 16a = 0 \Rightarrow a = -5$. Проверим, что точка касания лежит в области определения: $x = -\frac{12}{2} = -6 \in [-8, 0]$, и для левой ветви $x \le a = -5$ — выполняется $-6 \le -5$. Это критическое значение. 2) Касание левой ветвью уголка верхней дуги овала ($y = 4 - \frac{(x+4)^2}{4}$). Уравнение: $-x + a - 4 = 4 - \frac{(x+4)^2}{4}$. Упрощаем: $-x + a - 8 = -\frac{(x+4)^2}{4} \Rightarrow 4(-x + a - 8) = -(x+4)^2 \Rightarrow -4x + 4a - 32 = -x^2 - 8x - 16$. Переносим: $x^2 + 4x + 4a - 16 = 0$. Дискриминант: $D = 16 - 4(4a - 16) = 16 - 16a + 64 = 80 - 16a = 0 \Rightarrow a = 5$. Но $a = 5$ не лежит в интересующем нас промежутке (вершина уголка далеко справа), и точка касания $x = -2$ должна удовлетворять $x \le a = 5$ — да, но при $a=5$ уголок уже не будет иметь 4 пересечения? Проверим позже. 3) Касание правой ветвью уголка ($y = x - a - 4$, $x \ge a$) нижней дуги овала. Уравнение: $x - a - 4 = -4 + \frac{(x+4)^2}{4} \Rightarrow x - a = \frac{(x+4)^2}{4} \Rightarrow 4x - 4a = x^2 + 8x + 16$. Получаем $x^2 + 4x + 16 + 4a = 0$. Дискриминант: $D = 16 - 4(16 + 4a) = 16 - 64 - 16a = -48 - 16a = 0 \Rightarrow a = -3$. Точка касания $x = -2$, условие $x \ge a = -3$: $-2 \ge -3$ — выполняется. Это критическое значение. 4) Касание правой ветвью уголка верхней дуги овала. Уравнение: $x - a - 4 = 4 - \frac{(x+4)^2}{4} \Rightarrow x - a - 8 = -\frac{(x+4)^2}{4} \Rightarrow 4x - 4a - 32 = -x^2 - 8x - 16$. Получаем $x^2 + 12x - 4a - 16 = 0$. Дискриминант: $D = 144 - 4(-4a - 16) = 144 + 16a + 64 = 208 + 16a = 0 \Rightarrow a = -13$. Точка касания $x = -6$, условие $x \ge a = -13$ — выполняется, но $x = -6 \in [-8, 0]$. Это критическое значение. Шаг 8: Анализ интервалов для $a$. Критические значения: $a = -13$, $a = -5$, $a = -4$, $a = -3$, $a = 5$. Проверим количество решений в каждом интервале. При $a < -13$: вершина уголка слева от овала, левая ветвь пересекает овал в двух точках, правая ветвь не пересекает — всего 2 решения. При $a = -13$: правое касание с верхней дугой — 3 решения (одно касание и два пересечения левой ветвью). При $a \in (-13, -5)$: левая ветвь пересекает овал в двух точках, правая ветвь пересекает овал в двух точках — всего 4 решения. При $a = -5$: левое касание с нижней дугой — 3 решения (касание и два пересечения правой ветвью). При $a \in (-5, -4)$: обе ветви пересекают овал, но вершина ещё слева от центра овала — 4 решения. При $a = -4$: вершина в точке $(-4, -4)$ — 3 решения (касание изнутри). При $a \in (-4, -3)$: обе ветви пересекают овал, вершина внутри овала — 4 решения. При $a = -3$: правое касание с нижней дугой — 3 решения. При $a \in (-3, 5)$: правая ветвь пересекает овал в двух точках, левая ветвь пересекает овал в двух точках? Но при $a > -3$ вершина уже справа от центра, левая ветвь может не пересекать овал в двух точках. Проверим $a=0$: вершина $(0, -4)$ на правой границе овала по $x$. Левая ветвь $y = -x - 4$ при $x \le 0$: при $x=0$ $y=-4$ — это вершина уголка, при $x=-8$ $y=4$ — точка $(-8, 4)$ принадлежит овалу? Для овала при $x=-8$ $y=0$, так что левая ветвь пересекает овал в одной точке? Нужно точнее. При $a > -3$ левая ветвь может пересекать овал только в одной точке (касание или пересечение в одной точке), так как вершина уголка движется вправо. При $a=0$: левая ветвь $y=-x-4$ пересекает нижнюю дугу овала $y=-4+\frac{(x+4)^2}{4}$. Уравнение $-x-4=-4+\frac{(x+4)^2}{4}$ даёт $x=0$ или $x=-8$? Решим: $-x=\frac{(x+4)^2}{4}$ ⇒ $-4x=x^2+8x+16$ ⇒ $x^2+12x+16=0$ ⇒ $x=-6\pm 2\sqrt{5}$. Оба корня около $-10.47$ и $-1.53$, но они должны быть $\le a=0$ и в $[-8,0]$. $x_1 \approx -10.47$ не входит, $x_2 \approx -1.53$ входит. Также пересечение с верхней дугой? Уравнение $-x-4=4-\frac{(x+4)^2}{4}$ даёт $x^2+4x-32=0$ ⇒ $x=-2\pm 6$, корни $4$ и $-8$. $x=-8$ входит, $x=4$ нет. Итак, при $a=0$ левая ветвь пересекает овал в двух точках: $(-8, 4)$ и $(-1.53, -2.47)$? Проверим ординату при $x=-1.53$: $y=1.53-4=-2.47$ — это внутри овала. Значит, левая ветвь даёт два пересечения. Правая ветвь $y=x-4$ при $x\ge0$: пересекает ли овал? При $x=0$ $y=-4$ — это вершина уголка на границе овала, но это уже учтено. При $x>0$ овал не определён. Значит, правая ветвь не даёт других точек. Всего точек пересечения: $(-8,4)$, $(-1.53,-2.47)$, и, возможно, точка $(0,-4)$ (вершина) — но вершина лежит на границе овала? При $x=0$ для овала $y=0$ или $y=0$? Для овала $|y|=0$, так что $y=0$. Точка $(0,-4)$ не принадлежит овалу. Значит, при $a=0$ есть только два пересечения? Противоречие с предыдущим расчётом. Пересчитаем аккуратно для $a=0$: Овал: $x\in[-8,0]$, $|y|=-\frac{x^2+8x}{4}$. Уголок: $y=|x-0|-4=|x|-4$. Левая ветвь ($x\le0$): $y=-x-4$. Подставим в уравнение овала: $4| -x-4 | + x^2+8x=0$. Рассмотрим два случая для модуля $| -x-4 | = | x+4 |$. Если $x+4\ge0$ ($x\ge-4$), то $|x+4|=x+4$. Уравнение: $4(x+4)+x^2+8x=0$ ⇒ $x^2+12x+16=0$ ⇒ $x=-6\pm 2\sqrt{5}$. Корень $x=-6+2\sqrt{5}\approx-1.53$ $\ge -4$, подходит. Корень $x=-6-2\sqrt{5}\approx-10.47$ не входит в $[-4,0]$. Если $x+4<0$ ($x<-4$), то $|x+4|=-(x+4)$. Уравнение: $-4(x+4)+x^2+8x=0$ ⇒ $x^2+4x-16=0$ ⇒ $x=-2\pm 2\sqrt{5}$. Корень $x=-2+2\sqrt{5}\approx 2.47$ не входит в $[-8,-4)$. Корень $x=-2-2\sqrt{5}\approx-6.47$ входит в $[-8,-4)$. Итак, левая ветвь даёт два пересечения: $x\approx-6.47$ и $x\approx-1.53$. Правая ветвь ($x\ge0$): $y=x-4$. Но овал определён только при $x\in[-8,0]$, так что правая ветвь не пересекает овал. Всего 2 решения. Значит, при $a=0$ только 2 решения. Таким образом, 4 решения будут только когда обе ветви уголка пересекают овал каждая в двух точках. Это происходит, когда вершина уголка находится между критическими значениями, при которых происходит касание. Из анализа: При $a\in(-13,-5)$: левая ветвь пересекает овал в двух точках, правая ветвь тоже пересекает в двух точках — 4 решения. При $a\in(-5,-4)$: аналогично 4 решения. При $a\in(-4,-3)$: аналогично 4 решения. При $a=-4$: 3 решения. При $a=-13,-5,-3$: по 3 решения. При $a<-13$ или $a>-3$: меньше 4 решений. Проверим $a=5$: при $a=5$ левая ветвь касается верхней дуги, но это даст 3 решения? При $a=5$ вершина далеко справа, левая ветвь длинная, она пересекает овал в двух точках? Уравнение левой ветви $y=-x+1$ (так как $a-4=1$). Подставим в овал: $4| -x+1 | + x^2+8x=0$. Это даст два решения? Возможно, одно. В любом случае, при $a>5$ решений меньше. Итак, интервалы с 4 решениями: $(-13,-5)$, $(-5,-4)$, $(-4,-3)$. Но $a=-5$ и $a=-4$ и $a=-3$ не входят, так как дают 3 решения. Объединяем: $a\in(-13,-5)\cup(-5,-4)\cup(-4,-3)$. Шаг 9: Проверка граничных точек. При $a=-13$, $a=-5$, $a=-4$, $a=-3$ — ровно 3 решения. При $a$ чуть больше $-13$ — 4 решения. При $a$ чуть меньше $-5$ — 4 решения. При $a$ чуть больше $-5$ — 4 решения. При $a$ чуть меньше $-4$ — 4 решения. При $a$ чуть больше $-4$ — 4 решения. При $a$ чуть меньше $-3$ — 4 решения. При $a=-2$ — уже 2 решения (как при $a=0$). Окончательный ответ: $(-13, -5) \cup (-5, -4) \cup (-4, -3)$.