Шаг 1
Найдём область определения.
Условия:
1. $x \neq 0$ (знаменатель в $\frac{2}{x}$).
2. $x+3 > 0$ (аргумент логарифма).
3. $\frac{2}{x}+2 > 0$ (аргумент логарифма).
Решаем $\frac{2}{x}+2 > 0$:
При $x > 0$ неравенство верно.
При $x < 0$: $\frac{2}{x}+2 > 0 \Rightarrow \frac{2+2x}{x} > 0 \Rightarrow \frac{2(x+1)}{x} > 0 \Rightarrow x < -1$ (с учётом $x<0$).
С учётом $x > -3$ получаем для $x<0$: $x \in (-3, -1)$.
Итак, ОДЗ: $x \in (-3, -1) \cup (0, +\infty)$.
Условия:
1. $x \neq 0$ (знаменатель в $\frac{2}{x}$).
2. $x+3 > 0$ (аргумент логарифма).
3. $\frac{2}{x}+2 > 0$ (аргумент логарифма).
Результат:
Из $x+3 > 0$ следует $x > -3$.
Решаем $\frac{2}{x}+2 > 0$:
При $x > 0$ неравенство верно.
При $x < 0$: $\frac{2}{x}+2 > 0 \Rightarrow \frac{2+2x}{x} > 0 \Rightarrow \frac{2(x+1)}{x} > 0 \Rightarrow x < -1$ (с учётом $x<0$).
С учётом $x > -3$ получаем для $x<0$: $x \in (-3, -1)$.
Итак, ОДЗ: $x \in (-3, -1) \cup (0, +\infty)$.
Шаг 2
Преобразуем неравенство $\log_{5}\left( \frac{2}{x}+2 \right) - \log_{5}(x+3) \le \log_{5}\left( \frac{x+6}{x^{2}} \right)$.
Используем свойство логарифмов: $\log_{5} A - \log_{5} B = \log_{5} \left( \frac{A}{B} \right)$.
Используем свойство логарифмов: $\log_{5} A - \log_{5} B = \log_{5} \left( \frac{A}{B} \right)$.
Результат:
$\log_{5} \left( \frac{\frac{2}{x}+2}{x+3} \right) \le \log_{5} \left( \frac{x+6}{x^{2}} \right)$.
Шаг 3
Упростим выражение под логарифмом слева.
$\frac{2}{x}+2 = \frac{2+2x}{x} = \frac{2(x+1)}{x}$.
Тогда $\frac{\frac{2}{x}+2}{x+3} = \frac{2(x+1)}{x(x+3)}$.
$\frac{2}{x}+2 = \frac{2+2x}{x} = \frac{2(x+1)}{x}$.
Тогда $\frac{\frac{2}{x}+2}{x+3} = \frac{2(x+1)}{x(x+3)}$.
Результат:
Неравенство принимает вид: $\frac{2(x+1)}{x(x+3)} \le \frac{x+6}{x^{2}}$.
Шаг 4
Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю.
$\frac{2(x+1)}{x(x+3)} - \frac{x+6}{x^{2}} \le 0$.
Общий знаменатель: $x^{2}(x+3)$.
Числитель: $2x(x+1) - (x+6)(x+3) = 2x^{2}+2x - (x^{2}+9x+18) = x^{2} - 7x - 18$.
$\frac{2(x+1)}{x(x+3)} - \frac{x+6}{x^{2}} \le 0$.
Общий знаменатель: $x^{2}(x+3)$.
Числитель: $2x(x+1) - (x+6)(x+3) = 2x^{2}+2x - (x^{2}+9x+18) = x^{2} - 7x - 18$.
Результат:
$\frac{x^{2} - 7x - 18}{x^{2}(x+3)} \le 0$.
Шаг 5
Разложим числитель на множители.
$x^{2} - 7x - 18 = (x-9)(x+2)$.
$x^{2} - 7x - 18 = (x-9)(x+2)$.
Результат:
Неравенство: $\frac{(x-9)(x+2)}{x^{2}(x+3)} \le 0$.
Шаг 6
Решим методом интервалов.
Критические точки: $x = -3$, $x = -2$, $x = 0$, $x = 9$.
Учитываем ОДЗ: $x \in (-3, -1) \cup (0, +\infty)$.
Определяем знаки на интервалах:
На $(-3, -2)$: выражение $\le 0$.
На $(-2, -1)$: выражение $> 0$ (не подходит).
На $(0, 9)$: выражение $\le 0$.
На $(9, +\infty)$: выражение $> 0$ (не подходит).
Точки: $x=-2$ даёт ноль (входит), $x=9$ даёт ноль (входит), $x=0$ и $x=-3$ не входят в ОДЗ.
Критические точки: $x = -3$, $x = -2$, $x = 0$, $x = 9$.
Учитываем ОДЗ: $x \in (-3, -1) \cup (0, +\infty)$.
Определяем знаки на интервалах:
На $(-3, -2)$: выражение $\le 0$.
На $(-2, -1)$: выражение $> 0$ (не подходит).
На $(0, 9)$: выражение $\le 0$.
На $(9, +\infty)$: выражение $> 0$ (не подходит).
Точки: $x=-2$ даёт ноль (входит), $x=9$ даёт ноль (входит), $x=0$ и $x=-3$ не входят в ОДЗ.
Результат:
$x \in [-2, -1) \cup (0, 9]$.
Окончательный ответ:
$[-2,-1)\cup (0,9]$