Шаг 1
Пусть в школе №1 было $n_1$ учеников, в школе №2 — $n_2$, где $n_1 + n_2 = 9$ и $n_1, n_2 \ge 2$. Их суммарные баллы $S_1$ и $S_2$, средние баллы $a_1 = S_1 / n_1$ и $a_2 = S_2 / n_2$ — целые числа.
Шаг 2
Ученик с баллом $x$ переходит из школы №1 в школу №2. Новые средние: в школе №1 — $(S_1 - x)/(n_1 - 1)$, в школе №2 — $(S_2 + x)/(n_2 + 1)$.
а) Нужно, чтобы $(S_1 - x)/(n_1 - 1) = a_1 / 10$. Подставим $S_1 = a_1 n_1$:
$$
\frac{a_1 n_1 - x}{n_1 - 1} = \frac{a_1}{10} \Rightarrow 10a_1 n_1 - 10x = a_1 n_1 - a_1 \Rightarrow x = a_1 \frac{9n_1 + 1}{10n_1}.
$$
Возьмём $n_1 = 2$, тогда $x = a_1 \cdot \frac{19}{20}$. Чтобы $x$ было целым, положим $a_1 = 20$, тогда $x = 19$, $S_1 = 40$. Для школы №2 можно подобрать значения (например, $n_2 = 7$, $a_2$ любое целое). Значит, такая ситуация возможна.
б) и в) Теперь новые средние уменьшились на 10% в обеих школах:
$$
\frac{S_1 - x}{n_1 - 1} = 0.9a_1, \quad \frac{S_2 + x}{n_2 + 1} = 0.9a_2.
$$
Из уравнения для школы №2 ($S_2 = a_2 n_2$):
$$
\frac{a_2 n_2 + x}{n_2 + 1} = 0.9a_2 \Rightarrow a_2 n_2 + x = 0.9a_2 (n_2 + 1) \Rightarrow x = a_2 \frac{9 - n_2}{10}.
$$
б) Если $a_2 = 7$, то $x = 7 \cdot \frac{9 - n_2}{10}$. При $n_2$ от 2 до 7 числитель $7(9 - n_2)$ не делится на 10, $x$ не целое. Противоречие.
в) Из уравнения для школы №1 ($S_1 = a_1 n_1$):
$$
\frac{a_1 n_1 - x}{n_1 - 1} = 0.9a_1 \Rightarrow a_1 n_1 - x = 0.9a_1 (n_1 - 1) \Rightarrow x = a_1 \frac{n_1 + 9}{10}.
$$
Приравняем выражения для $x$ из обеих школ, учитывая $n_1 = 9 - n_2$:
$$
a_1 \frac{(9 - n_2) + 9}{10} = a_2 \frac{9 - n_2}{10} \Rightarrow a_1 (18 - n_2) = a_2 (9 - n_2) \Rightarrow a_1 = \frac{9 - n_2}{18 - n_2} a_2.
$$
Так как $a_1$ и $a_2$ целые, $n_2$ должно быть таким, чтобы дробь $\frac{9 - n_2}{18 - n_2}$ после сокращения давала рациональное отношение. Перебираем $n_2$ от 2 до 7:
- $n_2 = 3$: $a_1 = \frac{6}{15}a_2 = \frac{2}{5}a_2$. Минимальное целое $a_2$ при целом $a_1$ — $a_2 = 5$ (тогда $a_1 = 2$).
- $n_2 = 4$: $a_1 = \frac{5}{14}a_2$ — минимальное $a_2 = 14$.
- $n_2 = 5$: $a_1 = \frac{4}{13}a_2$ — минимальное $a_2 = 13$.
- $n_2 = 6$: $a_1 = \frac{3}{12}a_2 = \frac{1}{4}a_2$ — минимальное $a_2 = 4$, но тогда $x = a_2 \frac{9 - 6}{10} = 4 \cdot \frac{3}{10}$ — не целое.
- $n_2 = 7$: $a_1 = \frac{2}{11}a_2$ — минимальное $a_2 = 11$.
- $n_2 = 2$: $a_1 = \frac{7}{16}a_2$ — минимальное $a_2 = 16$.
Проверим $n_2 = 3$, $a_2 = 5$: $x = 5 \cdot \frac{6}{10} = 3$ — целое, подходит. Это наименьшее возможное значение.
а) Нужно, чтобы $(S_1 - x)/(n_1 - 1) = a_1 / 10$. Подставим $S_1 = a_1 n_1$:
$$
\frac{a_1 n_1 - x}{n_1 - 1} = \frac{a_1}{10} \Rightarrow 10a_1 n_1 - 10x = a_1 n_1 - a_1 \Rightarrow x = a_1 \frac{9n_1 + 1}{10n_1}.
$$
Возьмём $n_1 = 2$, тогда $x = a_1 \cdot \frac{19}{20}$. Чтобы $x$ было целым, положим $a_1 = 20$, тогда $x = 19$, $S_1 = 40$. Для школы №2 можно подобрать значения (например, $n_2 = 7$, $a_2$ любое целое). Значит, такая ситуация возможна.
Результат:
Да, мог.
б) и в) Теперь новые средние уменьшились на 10% в обеих школах:
$$
\frac{S_1 - x}{n_1 - 1} = 0.9a_1, \quad \frac{S_2 + x}{n_2 + 1} = 0.9a_2.
$$
Из уравнения для школы №2 ($S_2 = a_2 n_2$):
$$
\frac{a_2 n_2 + x}{n_2 + 1} = 0.9a_2 \Rightarrow a_2 n_2 + x = 0.9a_2 (n_2 + 1) \Rightarrow x = a_2 \frac{9 - n_2}{10}.
$$
б) Если $a_2 = 7$, то $x = 7 \cdot \frac{9 - n_2}{10}$. При $n_2$ от 2 до 7 числитель $7(9 - n_2)$ не делится на 10, $x$ не целое. Противоречие.
Результат:
Нет, не мог равняться 7.
в) Из уравнения для школы №1 ($S_1 = a_1 n_1$):
$$
\frac{a_1 n_1 - x}{n_1 - 1} = 0.9a_1 \Rightarrow a_1 n_1 - x = 0.9a_1 (n_1 - 1) \Rightarrow x = a_1 \frac{n_1 + 9}{10}.
$$
Приравняем выражения для $x$ из обеих школ, учитывая $n_1 = 9 - n_2$:
$$
a_1 \frac{(9 - n_2) + 9}{10} = a_2 \frac{9 - n_2}{10} \Rightarrow a_1 (18 - n_2) = a_2 (9 - n_2) \Rightarrow a_1 = \frac{9 - n_2}{18 - n_2} a_2.
$$
Так как $a_1$ и $a_2$ целые, $n_2$ должно быть таким, чтобы дробь $\frac{9 - n_2}{18 - n_2}$ после сокращения давала рациональное отношение. Перебираем $n_2$ от 2 до 7:
- $n_2 = 3$: $a_1 = \frac{6}{15}a_2 = \frac{2}{5}a_2$. Минимальное целое $a_2$ при целом $a_1$ — $a_2 = 5$ (тогда $a_1 = 2$).
- $n_2 = 4$: $a_1 = \frac{5}{14}a_2$ — минимальное $a_2 = 14$.
- $n_2 = 5$: $a_1 = \frac{4}{13}a_2$ — минимальное $a_2 = 13$.
- $n_2 = 6$: $a_1 = \frac{3}{12}a_2 = \frac{1}{4}a_2$ — минимальное $a_2 = 4$, но тогда $x = a_2 \frac{9 - 6}{10} = 4 \cdot \frac{3}{10}$ — не целое.
- $n_2 = 7$: $a_1 = \frac{2}{11}a_2$ — минимальное $a_2 = 11$.
- $n_2 = 2$: $a_1 = \frac{7}{16}a_2$ — минимальное $a_2 = 16$.
Проверим $n_2 = 3$, $a_2 = 5$: $x = 5 \cdot \frac{6}{10} = 3$ — целое, подходит. Это наименьшее возможное значение.
Результат:
Наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2 равно 5.
Окончательный ответ:
a) Да; б) Нет; в) 5