Шаг 1
Проверим возможность 5 чисел.
Рассмотрим набор $\{5, 6, 7, 8, 9\}$.
Наименьшее произведение: $5 \cdot 6 = 30 > 25$.
Наибольшее произведение: $8 \cdot 9 = 72 < 85$.
Рассмотрим набор $\{5, 6, 7, 8, 9\}$.
Наименьшее произведение: $5 \cdot 6 = 30 > 25$.
Наибольшее произведение: $8 \cdot 9 = 72 < 85$.
Результат:
Все произведения лежат в интервале $(25, 85)$, значит, 5 чисел возможно.
Шаг 2
Проверим возможность 6 чисел.
Пусть $a < b < c < d < e < f$ — искомые числа.
Для любых двух чисел произведение $> 25$, поэтому $a \cdot b > 25$.
Так как числа натуральные и различные, минимальные возможные: $a=5$, $b=6$ (тогда $5 \cdot 6 = 30$).
Для верхней границы: $e \cdot f < 85$.
Максимальное произведение двух различных натуральных чисел, меньшее 85, это $9 \cdot 9 = 81$, но числа различны, поэтому $8 \cdot 9 = 72$ или $9 \cdot 10 = 90$ (не подходит).
Значит, максимальное число в наборе не может превышать 9.
Таким образом, все числа должны лежать в интервале от 5 до 9 включительно, но там только 5 различных чисел: 5, 6, 7, 8, 9.
Пусть $a < b < c < d < e < f$ — искомые числа.
Для любых двух чисел произведение $> 25$, поэтому $a \cdot b > 25$.
Так как числа натуральные и различные, минимальные возможные: $a=5$, $b=6$ (тогда $5 \cdot 6 = 30$).
Для верхней границы: $e \cdot f < 85$.
Максимальное произведение двух различных натуральных чисел, меньшее 85, это $9 \cdot 9 = 81$, но числа различны, поэтому $8 \cdot 9 = 72$ или $9 \cdot 10 = 90$ (не подходит).
Значит, максимальное число в наборе не может превышать 9.
Таким образом, все числа должны лежать в интервале от 5 до 9 включительно, но там только 5 различных чисел: 5, 6, 7, 8, 9.
Результат:
6 различных натуральных чисел выбрать нельзя.
Шаг 3
Найдем максимальную сумму для 4 чисел.
Пусть $a < b < c < d$ — искомые числа.
Условия: $a \cdot b > 25$ и $c \cdot d < 85$.
Чтобы сумма была максимальной, нужно максимизировать числа, особенно наибольшие.
Попробуем взять $d = 10$. Тогда из условия $c \cdot 10 < 85$ следует $c \leq 8$.
Возьмём $c = 8$. Теперь подберём $a$ и $b$ так, чтобы $a \cdot b > 25$ и все числа были различны.
Максимальные возможные для оставшихся позиций: $b = 7$, $a = 6$ (тогда $6 \cdot 7 = 42 > 25$).
Проверим все произведения: $6 \cdot 7 = 42$, $6 \cdot 8 = 48$, $6 \cdot 10 = 60$, $7 \cdot 8 = 56$, $7 \cdot 10 = 70$, $8 \cdot 10 = 80$ — все в интервале $(25, 85)$.
Сумма: $6 + 7 + 8 + 10 = 31$.
Попытка увеличить сумму: если взять $d = 9$, то $c \leq 9$, но тогда максимальная сумма будет меньше (например, набор $\{6, 7, 8, 9\}$ даёт сумму 30).
Пусть $a < b < c < d$ — искомые числа.
Условия: $a \cdot b > 25$ и $c \cdot d < 85$.
Чтобы сумма была максимальной, нужно максимизировать числа, особенно наибольшие.
Попробуем взять $d = 10$. Тогда из условия $c \cdot 10 < 85$ следует $c \leq 8$.
Возьмём $c = 8$. Теперь подберём $a$ и $b$ так, чтобы $a \cdot b > 25$ и все числа были различны.
Максимальные возможные для оставшихся позиций: $b = 7$, $a = 6$ (тогда $6 \cdot 7 = 42 > 25$).
Проверим все произведения: $6 \cdot 7 = 42$, $6 \cdot 8 = 48$, $6 \cdot 10 = 60$, $7 \cdot 8 = 56$, $7 \cdot 10 = 70$, $8 \cdot 10 = 80$ — все в интервале $(25, 85)$.
Сумма: $6 + 7 + 8 + 10 = 31$.
Попытка увеличить сумму: если взять $d = 9$, то $c \leq 9$, но тогда максимальная сумма будет меньше (например, набор $\{6, 7, 8, 9\}$ даёт сумму 30).
Результат:
Максимальная сумма равна 31.
Окончательный ответ:
а) Да, б) Нет, в) 31