Шаг 1
Найдём производную функции: $y'(x) = -12\sin x + \frac{45}{\pi}$.
Шаг 2
Приравняем производную к нулю: $-12\sin x + \frac{45}{\pi} = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{15}{4\pi}$.
Шаг 3
Поскольку $\frac{15}{4\pi} > 1$, уравнение $\sin x = \frac{15}{4\pi}$ не имеет решений. Значит, критических точек нет.
Шаг 4
Производная $y'(x) = \frac{45}{\pi} - 12\sin x$ положительна на всём отрезке $\left[-\frac{2\pi}{3}; 0\right]$ (так как $\sin x \leq 1$). Следовательно, функция монотонно возрастает, и её наименьшее значение достигается на левом конце отрезка при $x = -\frac{2\pi}{3}$.
Шаг 5
Вычислим значение функции в этой точке:
$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 12\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{45}{\pi} \cdot \left(-\frac{2\pi}{3}\right) - 4$.
Так как $\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, получаем:
$12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{45}{\pi} \cdot \left(-\frac{2\pi}{3}\right) - 4 = -6 - 30 - 4 = -40$.
$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 12\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{45}{\pi} \cdot \left(-\frac{2\pi}{3}\right) - 4$.
Так как $\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, получаем:
$12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{45}{\pi} \cdot \left(-\frac{2\pi}{3}\right) - 4 = -6 - 30 - 4 = -40$.
Окончательный ответ:
-40