Шаг 1
Вычисляем производную:
$y'(x)=-12\sin x+\frac{45}{\pi}$.
$y'(x)=-12\sin x+\frac{45}{\pi}$.
Результат:
Производная получена.
Шаг 2
Приравниваем производную к нулю:
$-12\sin x+\frac{45}{\pi}=0$.
$-12\sin x+\frac{45}{\pi}=0$.
Результат:
$\sin x=\frac{15}{4\pi}$.
Шаг 3
Заметим, что $\frac{15}{4\pi}>1$.
Корня нет в действительных.
Корня нет в действительных.
Результат:
Критических точек нет.
Шаг 4
Функция монотонно возрастает.
Минимум на левом конце.
Минимум на левом конце.
Результат:
Берем $x=-\frac{2\pi}{3}$.
Шаг 5
Подставляем в функцию:
$\cos(-\frac{2\pi}{3})=\cos(\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}$.
$\cos(-\frac{2\pi}{3})=\cos(\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}$.
Результат:
Вычисляем $12\cdot (-\frac{1}{2})=-6$.
Шаг 6
Второй член:
$\frac{45}{\pi} \cdot \Bigl(-\frac{2\pi}{3}\Bigr)=-30$.
$\frac{45}{\pi} \cdot \Bigl(-\frac{2\pi}{3}\Bigr)=-30$.
Результат:
Получаем $-30$.
Шаг 7
Складываем:
$-6-30-4=-40$.
$-6-30-4=-40$.
Результат:
Минимальное значение $y=-40$.
Окончательный ответ:
-40