🔍 Решение
Шаг 1
Пусть $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $DA = d$ - стороны четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность. По свойству вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна $180°$.
Результат:
ABCD - вписанный четырёхугольник
Шаг 2
По теореме Птолемея для вписанного четырёхугольника: произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
Результат:
$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA$
Шаг 3
Известно, что $AB \cdot CD + BC \cdot DA = 36$ (по условию). По теореме Птолемея: $AC \cdot BD = 36$.
Результат:
$AC \cdot BD = 36$
Шаг 4
По неравенству Коши для положительных чисел: $AC \cdot BD \leq \frac{{AC^2 + BD^2}}{{2}}$. Равенство достигается при $AC = BD$.
Результат:
Максимум произведения при $AC = BD$
Шаг 5
При $AC = BD$ имеем $AC^2 = 36$, откуда $AC = BD = 6$.
Результат:
$AC = BD = 6$
Окончательный ответ:
6