Шаг 1
Объединим логарифмы.
Результат:
$\log_{3}\left(\frac{\frac{1}{x}+2}{x+5}\right) \ge \log_{3}\left(\frac{x+4}{x^{2}}\right)$
Шаг 2
Основание $3 > 1$, поэтому сравниваем аргументы.
Результат:
$\frac{\frac{1}{x}+2}{x+5} \ge \frac{x+4}{x^{2}}$
Шаг 3
Упростим левую часть: $\frac{1+2x}{x(x+5)} \ge \frac{x+4}{x^{2}}$
Шаг 4
Перенесем всё в одну дробь.
Результат:
$\frac{x^{2}(1+2x) - (x+4)x(x+5)}{x^{3}(x+5)} \ge 0$, что упрощается до $\frac{(x-10)(x+2)}{x^{2}(x+5)} \ge 0$
Шаг 5
Найдём область определения. Из исходного неравенства: $x \neq 0$, $x+5 > 0 \Rightarrow x > -5$, $\frac{1}{x}+2 > 0$ и $\frac{x+4}{x^{2}} > 0$. Совместно это даёт $x \in (-4, 0) \cup (0, \infty)$.
Шаг 6
Решаем упрощённое неравенство $\frac{(x-10)(x+2)}{x^{2}(x+5)} \ge 0$ на области определения. Знаменатель $x^{2} > 0$ при $x \neq 0$. Исследуем знак выражения $(x-10)(x+2)/(x+5)$ на интервалах: $(-4, -2]$, $(-2, 0)$, $(0, 10]$, $[10, \infty)$. Оно неотрицательно на $(-4, -2]$ и $[10, \infty)$.
Окончательный ответ:
$(-4, -2] \cup [10, \infty)$