Шаг 1
Найдём ОДЗ.
Логарифмы определены при положительных аргументах:
1) $\log_{0.25}(x+3)$: $x+3 > 0 \Rightarrow x > -3$.
2) $\log_{4}(x^{2}+6x+9)$: $x^{2}+6x+9 = (x+3)^{2} > 0 \Rightarrow x \neq -3$.
3) $\log_{4}(x+2)$: $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$.
Пересекая условия, получаем ОДЗ: $x \in (-2, +\infty)$.
Логарифмы определены при положительных аргументах:
1) $\log_{0.25}(x+3)$: $x+3 > 0 \Rightarrow x > -3$.
2) $\log_{4}(x^{2}+6x+9)$: $x^{2}+6x+9 = (x+3)^{2} > 0 \Rightarrow x \neq -3$.
3) $\log_{4}(x+2)$: $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$.
Пересекая условия, получаем ОДЗ: $x \in (-2, +\infty)$.
Шаг 2
Упростим выражение в первых скобках.
Заметим: $x^{2}+6x+9 = (x+3)^{2}$.
Преобразуем: $\log_{0.25}(x+3) = \log_{4^{-1}}(x+3) = -\log_{4}(x+3)$.
На ОДЗ $x > -2$, поэтому $x+3 > 1 > 0$, значит $\log_{4}((x+3)^{2}) = 2\log_{4}(x+3)$.
Подставляем: $\left(-\log_{4}(x+3) - 2\log_{4}(x+3) + 1\right) = 1 - 3\log_{4}(x+3)$.
Заметим: $x^{2}+6x+9 = (x+3)^{2}$.
Преобразуем: $\log_{0.25}(x+3) = \log_{4^{-1}}(x+3) = -\log_{4}(x+3)$.
На ОДЗ $x > -2$, поэтому $x+3 > 1 > 0$, значит $\log_{4}((x+3)^{2}) = 2\log_{4}(x+3)$.
Подставляем: $\left(-\log_{4}(x+3) - 2\log_{4}(x+3) + 1\right) = 1 - 3\log_{4}(x+3)$.
Шаг 3
Исходное неравенство принимает вид:
$\left(1 - 3\log_{4}(x+3)\right) \cdot \log_{4}(x+2) \leq 0$.
$\left(1 - 3\log_{4}(x+3)\right) \cdot \log_{4}(x+2) \leq 0$.
Шаг 4
Найдём нули множителей.
1) $1 - 3\log_{4}(x+3) = 0 \Rightarrow \log_{4}(x+3) = \frac{1}{3} \Rightarrow x+3 = 4^{1/3} \Rightarrow x = \sqrt[3]{4} - 3$.
2) $\log_{4}(x+2) = 0 \Rightarrow x+2 = 1 \Rightarrow x = -1$.
На ОДЗ $(-2, +\infty)$ точки расположены так: $-2 < \sqrt[3]{4} - 3 < -1$ (поскольку $\sqrt[3]{4} \approx 1.587$).
1) $1 - 3\log_{4}(x+3) = 0 \Rightarrow \log_{4}(x+3) = \frac{1}{3} \Rightarrow x+3 = 4^{1/3} \Rightarrow x = \sqrt[3]{4} - 3$.
2) $\log_{4}(x+2) = 0 \Rightarrow x+2 = 1 \Rightarrow x = -1$.
На ОДЗ $(-2, +\infty)$ точки расположены так: $-2 < \sqrt[3]{4} - 3 < -1$ (поскольку $\sqrt[3]{4} \approx 1.587$).
Шаг 5
Определим знаки на интервалах.
Интервалы: $I_1 = (-2, \sqrt[3]{4} - 3)$, $I_2 = (\sqrt[3]{4} - 3, -1)$, $I_3 = (-1, +\infty)$.
На $I_1$: $\log_{4}(x+3) < \frac{1}{3} \Rightarrow 1 - 3\log_{4}(x+3) > 0$; $\log_{4}(x+2) < 0$. Произведение $< 0$.
На $I_2$: $\log_{4}(x+3) > \frac{1}{3} \Rightarrow 1 - 3\log_{4}(x+3) < 0$; $\log_{4}(x+2) < 0$. Произведение $> 0$.
На $I_3$: $1 - 3\log_{4}(x+3) < 0$; $\log_{4}(x+2) > 0$. Произведение $< 0$.
В точках $x = \sqrt[3]{4} - 3$ и $x = -1$ множители равны нулю, поэтому неравенство выполняется.
Интервалы: $I_1 = (-2, \sqrt[3]{4} - 3)$, $I_2 = (\sqrt[3]{4} - 3, -1)$, $I_3 = (-1, +\infty)$.
На $I_1$: $\log_{4}(x+3) < \frac{1}{3} \Rightarrow 1 - 3\log_{4}(x+3) > 0$; $\log_{4}(x+2) < 0$. Произведение $< 0$.
На $I_2$: $\log_{4}(x+3) > \frac{1}{3} \Rightarrow 1 - 3\log_{4}(x+3) < 0$; $\log_{4}(x+2) < 0$. Произведение $> 0$.
На $I_3$: $1 - 3\log_{4}(x+3) < 0$; $\log_{4}(x+2) > 0$. Произведение $< 0$.
В точках $x = \sqrt[3]{4} - 3$ и $x = -1$ множители равны нулю, поэтому неравенство выполняется.
Шаг 6
Объединяем решение с ОДЗ.
Неравенство выполняется на $I_1$, в точке $\sqrt[3]{4} - 3$, на $I_3$ и в точке $-1$.
Ответ: $x \in (-2, \sqrt[3]{4} - 3] \cup [-1, +\infty)$.
Неравенство выполняется на $I_1$, в точке $\sqrt[3]{4} - 3$, на $I_3$ и в точке $-1$.
Ответ: $x \in (-2, \sqrt[3]{4} - 3] \cup [-1, +\infty)$.
Окончательный ответ:
$(-2, \sqrt[3]{4} - 3] \cup [-1, +\infty)$