Шаг 1
В треугольнике $ABD$ стороны $AB$ и $BD$ равны (основание $AD$). В треугольнике $BCD$ стороны $BC$ и $BD$ равны (основание $CD$).
Результат:
$\triangle ABD$ и $\triangle BCD$ — равнобедренные.
Шаг 2
Так как $AD \parallel BC$, то $\angle ADB = \angle CBD$ (накрест лежащие).
Результат:
Углы при основаниях равнобедренных треугольников равны: $\angle ADB = \angle BAD$ и $\angle CBD = \angle BCD$.
Шаг 3
Из равенств $\angle ADB = \angle BAD$ и $\angle ADB = \angle BCD$ следует $\angle BAD = \angle BCD$.
Результат:
В четырёхугольнике $ABCD$: $\angle BAD = \angle BCD$.
Шаг 4
В равнобедренном $\triangle ABD$ угол $\angle BAD$ равен углу при вершине $B$, а в $\triangle BCD$ угол $\angle BCD$ равен углу при вершине $B$. Значит, $\angle ABD = \angle CBD$.
Результат:
$BD$ — биссектриса угла $ABC$.
Шаг 5
По свойству биссектрисы в треугольнике $ABC$: $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$. Но $AB = BD = BC = 8.5$, поэтому $AD = DC$.
Результат:
$AD = DC$.
Шаг 6
Введём координаты: $A(0,0)$, $D(d,0)$. Тогда $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AD$: $B\left( \frac{d}{2}, h \right)$, где $h = \sqrt{8.5^2 - \left( \frac{d}{2} \right)^2 }$.
Результат:
Координаты $B$ выражены через $d$.
Шаг 7
Так как $AD = DC = d$, точка $C$ симметрична $A$ относительно прямой, содержащей $BD$. Из геометрии получаем $C\left( 8.5 + \frac{d}{2}, h \right)$.
Результат:
Координаты $C$ найдены.
Шаг 8
По условию $AC = 15$. Тогда:
$AC^2 = \left( 8.5 + \frac{d}{2} \right)^2 + h^2 = 225$.
Подставляя $h^2 = 8.5^2 - \frac{d^2}{4}$, получаем:
$\left( 8.5 + \frac{d}{2} \right)^2 + 72.25 - \frac{d^2}{4} = 225$.
$AC^2 = \left( 8.5 + \frac{d}{2} \right)^2 + h^2 = 225$.
Подставляя $h^2 = 8.5^2 - \frac{d^2}{4}$, получаем:
$\left( 8.5 + \frac{d}{2} \right)^2 + 72.25 - \frac{d^2}{4} = 225$.
Результат:
Упрощая: $72.25 + 8.5d + \frac{d^2}{4} + 72.25 - \frac{d^2}{4} = 225$, откуда $8.5d = 80.5$, $d = \frac{161}{17}$.
Шаг 9
Тогда $h = \sqrt{72.25 - \left( \frac{161}{34} \right)^2 } = \frac{120}{17}$.
Результат:
$C\left( \frac{225}{17}, \frac{120}{17} \right)$, $D\left( \frac{161}{17}, 0 \right)$.
Шаг 10
Находим $CD$:
$CD = \sqrt{ \left( \frac{225}{17} - \frac{161}{17} \right)^2 + \left( \frac{120}{17} \right)^2 } = \frac{1}{17} \sqrt{64^2 + 120^2} = \frac{1}{17} \sqrt{4096 + 14400} = \frac{136}{17} = 8$.
$CD = \sqrt{ \left( \frac{225}{17} - \frac{161}{17} \right)^2 + \left( \frac{120}{17} \right)^2 } = \frac{1}{17} \sqrt{64^2 + 120^2} = \frac{1}{17} \sqrt{4096 + 14400} = \frac{136}{17} = 8$.
Результат:
$CD = 8$.
Окончательный ответ:
8