а) Доказательство, что плоскость $BDM$ перпендикулярна плоскости $SAC$
Шаг 1: Введём систему координат. Поместим основание $ABCD$ в плоскость $z=0$ с центром $O(0,0,0)$:
$A(4,-4,0)$, $B(-4,-4,0)$, $C(-4,4,0)$, $D(4,4,0)$.
Шаг 2: Найдём $S$. $AO = 4\sqrt{2}$, $SO = \sqrt{7^2 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{17}$. Тогда $S(0,0,\sqrt{17})$.
Шаг 3: Координаты $K$ и $M$.
$K = A + \frac{1}{4}(S - A) = (4,-4,0) + \frac{1}{4}(-4,4,\sqrt{17}) = \left(3,-3,\frac{\sqrt{17}}{4}\right)$.
$M = C + \frac{1}{4}(S - C) = (-4,4,0) + \frac{1}{4}(4,-4,\sqrt{17}) = \left(-3,3,\frac{\sqrt{17}}{4}\right)$.
Шаг 4: Нормаль $\vec{n_1}$ к плоскости $BDM$.
Векторы: $\overrightarrow{BD} = (8,8,0)$, $\overrightarrow{BM} = (1,7,\frac{\sqrt{17}}{4})$.
Векторное произведение:
$\vec{n_1} = \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BM} = \left(8 \cdot \frac{\sqrt{17}}{4} - 0 \cdot 7,\; -\left(8 \cdot \frac{\sqrt{17}}{4} - 0 \cdot 1\right),\; 8 \cdot 7 - 8 \cdot 1\right) = (2\sqrt{17}, -2\sqrt{17}, 48)$.
Упростим: $\vec{n_1} = (\sqrt{17}, -\sqrt{17}, 24)$.
Шаг 5: Нормаль $\vec{n_2}$ к плоскости $SAC$.
Векторы: $\overrightarrow{SA} = (4,-4,-\sqrt{17})$, $\overrightarrow{SC} = (-4,4,-\sqrt{17})$.
Векторное произведение:
$\vec{n_2} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SC} = \left((-4)(-\sqrt{17}) - (-\sqrt{17})(4),\; -\left(4(-\sqrt{17}) - (-\sqrt{17})(-4)\right),\; 4 \cdot 4 - (-4)(-4)\right) = (8\sqrt{17}, 8\sqrt{17}, 0)$.
Упростим: $\vec{n_2} = (\sqrt{17}, \sqrt{17}, 0)$.
Шаг 6: Проверка перпендикулярности:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = \sqrt{17} \cdot \sqrt{17} + (-\sqrt{17}) \cdot \sqrt{17} + 24 \cdot 0 = 17 - 17 + 0 = 0$.
Скалярное произведение равно нулю, значит $\vec{n_1} \perp \vec{n_2}$, поэтому плоскости $BDM$ и $SAC$ перпендикулярны.
$A(4,-4,0)$, $B(-4,-4,0)$, $C(-4,4,0)$, $D(4,4,0)$.
Шаг 2: Найдём $S$. $AO = 4\sqrt{2}$, $SO = \sqrt{7^2 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{17}$. Тогда $S(0,0,\sqrt{17})$.
Шаг 3: Координаты $K$ и $M$.
$K = A + \frac{1}{4}(S - A) = (4,-4,0) + \frac{1}{4}(-4,4,\sqrt{17}) = \left(3,-3,\frac{\sqrt{17}}{4}\right)$.
$M = C + \frac{1}{4}(S - C) = (-4,4,0) + \frac{1}{4}(4,-4,\sqrt{17}) = \left(-3,3,\frac{\sqrt{17}}{4}\right)$.
Шаг 4: Нормаль $\vec{n_1}$ к плоскости $BDM$.
Векторы: $\overrightarrow{BD} = (8,8,0)$, $\overrightarrow{BM} = (1,7,\frac{\sqrt{17}}{4})$.
Векторное произведение:
$\vec{n_1} = \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BM} = \left(8 \cdot \frac{\sqrt{17}}{4} - 0 \cdot 7,\; -\left(8 \cdot \frac{\sqrt{17}}{4} - 0 \cdot 1\right),\; 8 \cdot 7 - 8 \cdot 1\right) = (2\sqrt{17}, -2\sqrt{17}, 48)$.
Упростим: $\vec{n_1} = (\sqrt{17}, -\sqrt{17}, 24)$.
Шаг 5: Нормаль $\vec{n_2}$ к плоскости $SAC$.
Векторы: $\overrightarrow{SA} = (4,-4,-\sqrt{17})$, $\overrightarrow{SC} = (-4,4,-\sqrt{17})$.
Векторное произведение:
$\vec{n_2} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SC} = \left((-4)(-\sqrt{17}) - (-\sqrt{17})(4),\; -\left(4(-\sqrt{17}) - (-\sqrt{17})(-4)\right),\; 4 \cdot 4 - (-4)(-4)\right) = (8\sqrt{17}, 8\sqrt{17}, 0)$.
Упростим: $\vec{n_2} = (\sqrt{17}, \sqrt{17}, 0)$.
Шаг 6: Проверка перпендикулярности:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = \sqrt{17} \cdot \sqrt{17} + (-\sqrt{17}) \cdot \sqrt{17} + 24 \cdot 0 = 17 - 17 + 0 = 0$.
Скалярное произведение равно нулю, значит $\vec{n_1} \perp \vec{n_2}$, поэтому плоскости $BDM$ и $SAC$ перпендикулярны.
Результат:
$BDM \perp SAC$.
б) Объём пирамиды $KBDM$
Шаг 1: Объём тетраэдра $KBDM$ найдём через смешанное произведение:
$V = \frac{1}{6} \left| \left( \overrightarrow{BK}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BM} \right) \right|$.
Координаты: $B(-4,-4,0)$, $K\left(3,-3,\frac{\sqrt{17}}{4}\right)$, $D(4,4,0)$, $M\left(-3,3,\frac{\sqrt{17}}{4}\right)$.
Векторы: $\overrightarrow{BK} = \left(7, 1, \frac{\sqrt{17}}{4}\right)$, $\overrightarrow{BD} = (8, 8, 0)$, $\overrightarrow{BM} = \left(1, 7, \frac{\sqrt{17}}{4}\right)$.
Шаг 2: Вычислим определитель:
$\det = 7 \cdot \left(8 \cdot \frac{\sqrt{17}}{4} - 0 \cdot 7\right) - 1 \cdot \left(8 \cdot \frac{\sqrt{17}}{4} - 0 \cdot 1\right) + \frac{\sqrt{17}}{4} \cdot (8 \cdot 7 - 8 \cdot 1)$
$= 7 \cdot (2\sqrt{17}) - 1 \cdot (2\sqrt{17}) + \frac{\sqrt{17}}{4} \cdot 48$
$= 14\sqrt{17} - 2\sqrt{17} + 12\sqrt{17} = 24\sqrt{17}$.
Шаг 3: Объём:
$V = \frac{1}{6} \cdot 24\sqrt{17} = 4\sqrt{17}$.
$V = \frac{1}{6} \left| \left( \overrightarrow{BK}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BM} \right) \right|$.
Координаты: $B(-4,-4,0)$, $K\left(3,-3,\frac{\sqrt{17}}{4}\right)$, $D(4,4,0)$, $M\left(-3,3,\frac{\sqrt{17}}{4}\right)$.
Векторы: $\overrightarrow{BK} = \left(7, 1, \frac{\sqrt{17}}{4}\right)$, $\overrightarrow{BD} = (8, 8, 0)$, $\overrightarrow{BM} = \left(1, 7, \frac{\sqrt{17}}{4}\right)$.
Шаг 2: Вычислим определитель:
$\det = 7 \cdot \left(8 \cdot \frac{\sqrt{17}}{4} - 0 \cdot 7\right) - 1 \cdot \left(8 \cdot \frac{\sqrt{17}}{4} - 0 \cdot 1\right) + \frac{\sqrt{17}}{4} \cdot (8 \cdot 7 - 8 \cdot 1)$
$= 7 \cdot (2\sqrt{17}) - 1 \cdot (2\sqrt{17}) + \frac{\sqrt{17}}{4} \cdot 48$
$= 14\sqrt{17} - 2\sqrt{17} + 12\sqrt{17} = 24\sqrt{17}$.
Шаг 3: Объём:
$V = \frac{1}{6} \cdot 24\sqrt{17} = 4\sqrt{17}$.
Результат:
$V = 4\sqrt{17}$.
Окончательный ответ:
$4\sqrt{17}$.