Шаг 1
Используем чётность косинуса: $\cos(-x) = \cos x$. Уравнение принимает вид $\cos 2x + \cos x = 0$.
Шаг 2
Применяем формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Подставляем: $2\cos^2 x - 1 + \cos x = 0$, что равносильно $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$.
Шаг 3
Решаем квадратное уравнение относительно $\cos x$. Пусть $t = \cos x$, тогда $2t^2 + t - 1 = 0$. Дискриминант $D = 9$, корни $t = \frac{-1 \pm 3}{4}$, то есть $t_1 = \frac{1}{2}$, $t_2 = -1$. Получаем $\cos x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = -1$.
Шаг 4
Находим общие решения.
Для $\cos x = \frac{1}{2}$: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Для $\cos x = -1$: $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Для $\cos x = \frac{1}{2}$: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Для $\cos x = -1$: $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 5
Отбираем корни на отрезке $\left[ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$.
Для серии $x = \pi + 2\pi k$: при $k = -2$ получаем $x = \pi - 4\pi = -3\pi$. Проверяем: $-3\pi \in \left[ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$, так как $-\frac{7\pi}{2} = -3.5\pi < -3\pi < -2\pi$. Другие $k$ дают значения вне отрезка.
Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n = -1$ получаем $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \approx -5.24$, что меньше $-2\pi \approx -6.28$, не подходит. При $n \leq -2$ значения ещё меньше.
Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n = -1$ получаем $x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$. Проверяем: $-\frac{7\pi}{2} = -\frac{10.5\pi}{3} < -\frac{7\pi}{3} < -2\pi = -\frac{6\pi}{3}$, корень принадлежит отрезку. При $n \leq -2$ значения меньше левой границы.
Для серии $x = \pi + 2\pi k$: при $k = -2$ получаем $x = \pi - 4\pi = -3\pi$. Проверяем: $-3\pi \in \left[ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$, так как $-\frac{7\pi}{2} = -3.5\pi < -3\pi < -2\pi$. Другие $k$ дают значения вне отрезка.
Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n = -1$ получаем $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \approx -5.24$, что меньше $-2\pi \approx -6.28$, не подходит. При $n \leq -2$ значения ещё меньше.
Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n = -1$ получаем $x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$. Проверяем: $-\frac{7\pi}{2} = -\frac{10.5\pi}{3} < -\frac{7\pi}{3} < -2\pi = -\frac{6\pi}{3}$, корень принадлежит отрезку. При $n \leq -2$ значения меньше левой границы.
Окончательный ответ: