Шаг 1
Анализ системы.
Дана система: $y = (a+2)x^2 + 2ax + a - 2$ и $y^2 = x^2$.
Уравнение $y^2 = x^2$ равносильно $y = x$ или $y = -x$.
1) $y = x$: $x = (a+2)x^2 + 2ax + a - 2$
2) $y = -x$: $-x = (a+2)x^2 + 2ax + a - 2$
Дана система: $y = (a+2)x^2 + 2ax + a - 2$ и $y^2 = x^2$.
Уравнение $y^2 = x^2$ равносильно $y = x$ или $y = -x$.
Результат:
система распадается на два случая:
1) $y = x$: $x = (a+2)x^2 + 2ax + a - 2$
2) $y = -x$: $-x = (a+2)x^2 + 2ax + a - 2$
Шаг 2
Преобразование уравнений.
Для $y = x$: $(a+2)x^2 + (2a - 1)x + (a - 2) = 0$.
Для $y = -x$: $(a+2)x^2 + (2a + 1)x + (a - 2) = 0$.
Для $y = x$: $(a+2)x^2 + (2a - 1)x + (a - 2) = 0$.
Для $y = -x$: $(a+2)x^2 + (2a + 1)x + (a - 2) = 0$.
Результат:
два квадратных уравнения относительно $x$.
Шаг 3
Условия для корней.
Для ровно четырёх различных решений каждое уравнение должно иметь два различных корня, и все корни $x$ должны быть различны.
Дискриминанты:
$D_1 = (2a - 1)^2 - 4(a+2)(a-2) = -4a + 17$
$D_2 = (2a + 1)^2 - 4(a+2)(a-2) = 4a + 17$
Условия $D_1 > 0$ и $D_2 > 0$:
$-4a + 17 > 0 \Rightarrow a < \frac{17}{4} = 4.25$
$4a + 17 > 0 \Rightarrow a > -\frac{17}{4} = -4.25$
Для ровно четырёх различных решений каждое уравнение должно иметь два различных корня, и все корни $x$ должны быть различны.
Дискриминанты:
$D_1 = (2a - 1)^2 - 4(a+2)(a-2) = -4a + 17$
$D_2 = (2a + 1)^2 - 4(a+2)(a-2) = 4a + 17$
Условия $D_1 > 0$ и $D_2 > 0$:
$-4a + 17 > 0 \Rightarrow a < \frac{17}{4} = 4.25$
$4a + 17 > 0 \Rightarrow a > -\frac{17}{4} = -4.25$
Результат:
$a \in \left(-4.25, 4.25\right)$.
Шаг 4
Исключение вырожденных случаев.
Если $a+2 = 0$ ($a = -2$), уравнения становятся линейными и дают не более двух корней. Проверка: при $a=-2$ каждое уравнение имеет ровно один корень. Значит, $a \neq -2$.
Если $a+2 = 0$ ($a = -2$), уравнения становятся линейными и дают не более двух корней. Проверка: при $a=-2$ каждое уравнение имеет ровно один корень. Значит, $a \neq -2$.
Шаг 5
Проверка совпадения корней между уравнениями.
Пусть $x_0$ — общий корень. Вычитая уравнения, получаем:
$[(a+2)x_0^2 + (2a-1)x_0 + (a-2)] - [(a+2)x_0^2 + (2a+1)x_0 + (a-2)] = 0 \Rightarrow -2x_0 = 0 \Rightarrow x_0 = 0$.
Подставляем $x_0=0$ в любое уравнение: $a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2$.
Пусть $x_0$ — общий корень. Вычитая уравнения, получаем:
$[(a+2)x_0^2 + (2a-1)x_0 + (a-2)] - [(a+2)x_0^2 + (2a+1)x_0 + (a-2)] = 0 \Rightarrow -2x_0 = 0 \Rightarrow x_0 = 0$.
Подставляем $x_0=0$ в любое уравнение: $a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2$.
Результат:
при $a=2$ есть общий корень $x=0$.
Шаг 6
Анализ случая $a=2$.
При $a=2$:
Первое уравнение: $4x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(4x+3)=0$, корни $x=0$ и $x=-\frac{3}{4}$.
Второе уравнение: $4x^2 + 5x = 0 \Rightarrow x(4x+5)=0$, корни $x=0$ и $x=-\frac{5}{4}$.
Общий корень $x=0$ даёт одинаковую пару $(0,0)$. Всего различных решений: $(-0.75, -0.75)$, $(0,0)$, $(-1.25, 1.25)$ — три решения. Значит, $a=2$ не подходит.
При $a=2$:
Первое уравнение: $4x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(4x+3)=0$, корни $x=0$ и $x=-\frac{3}{4}$.
Второе уравнение: $4x^2 + 5x = 0 \Rightarrow x(4x+5)=0$, корни $x=0$ и $x=-\frac{5}{4}$.
Общий корень $x=0$ даёт одинаковую пару $(0,0)$. Всего различных решений: $(-0.75, -0.75)$, $(0,0)$, $(-1.25, 1.25)$ — три решения. Значит, $a=2$ не подходит.
Шаг 7
Итоговые условия.
При $a \in \left(-4.25, 4.25\right)$, $a \neq -2$, $a \neq 2$:
$D_1 > 0$, $D_2 > 0$, уравнения квадратные, общих корней нет. Каждое даёт два различных $x$, соответствующие $y$ определяются однозначно ($y=x$ или $y=-x$). Все четыре пары $(x, y)$ различны.
При $a \in \left(-4.25, 4.25\right)$, $a \neq -2$, $a \neq 2$:
$D_1 > 0$, $D_2 > 0$, уравнения квадратные, общих корней нет. Каждое даёт два различных $x$, соответствующие $y$ определяются однозначно ($y=x$ или $y=-x$). Все четыре пары $(x, y)$ различны.
Результат:
условие выполнено.
Окончательный ответ:
$\left(-4.25, -2\right) \cup \left(-2, 2\right) \cup \left(2, 4.25\right)$