Шаг 1
Условие $2x - 2a \ge 0$, откуда $x \ge a$.
Шаг 2
Раскрываем модуль. Получаем совокупность:
(1) $x^{2} + a^{2} - 6x + 4a = 2x - 2a$
(2) $x^{2} + a^{2} - 6x + 4a = -2x + 2a$
Упрощаем:
(1) $x^{2} - 8x + a^{2} + 6a = 0$
(2) $x^{2} - 4x + a^{2} + 2a = 0$
(1) $x^{2} + a^{2} - 6x + 4a = 2x - 2a$
(2) $x^{2} + a^{2} - 6x + 4a = -2x + 2a$
Упрощаем:
(1) $x^{2} - 8x + a^{2} + 6a = 0$
(2) $x^{2} - 4x + a^{2} + 2a = 0$
Шаг 3
Дискриминанты.
Для (1): $D_{1} = 64 - 4(a^{2} + 6a) = -4a^{2} - 24a + 64$. Корни: $x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 - a^{2} - 6a}$.
Для (2): $D_{2} = 16 - 4(a^{2} + 2a) = -4a^{2} - 8a + 16$. Корни: $x_{3,4} = 2 \pm \sqrt{4 - a^{2} - 2a}$.
Для (1): $D_{1} = 64 - 4(a^{2} + 6a) = -4a^{2} - 24a + 64$. Корни: $x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 - a^{2} - 6a}$.
Для (2): $D_{2} = 16 - 4(a^{2} + 2a) = -4a^{2} - 8a + 16$. Корни: $x_{3,4} = 2 \pm \sqrt{4 - a^{2} - 2a}$.
Шаг 4
Условие $x \ge a$ для каждого корня.
Шаг 5
Анализ уравнения (1).
$D_{1} \ge 0 \Rightarrow a^{2} + 6a - 16 \le 0 \Rightarrow a \in [-8, 2]$.
$x_{1} \ge a$ всегда при $a \in [-8, 2]$.
$x_{2} \ge a \Rightarrow 4 - \sqrt{16 - a^{2} - 6a} \ge a$. После возведения в квадрат: $2a(a-1) \ge 0$, значит $a \le 0$ или $a \ge 1$.
С учётом $a \in [-8, 2]$: $x_{2} \ge a$ при $a \in [-8, 0] \cup [1, 2]$.
$D_{1} \ge 0 \Rightarrow a^{2} + 6a - 16 \le 0 \Rightarrow a \in [-8, 2]$.
$x_{1} \ge a$ всегда при $a \in [-8, 2]$.
$x_{2} \ge a \Rightarrow 4 - \sqrt{16 - a^{2} - 6a} \ge a$. После возведения в квадрат: $2a(a-1) \ge 0$, значит $a \le 0$ или $a \ge 1$.
С учётом $a \in [-8, 2]$: $x_{2} \ge a$ при $a \in [-8, 0] \cup [1, 2]$.
Шаг 6
Анализ уравнения (2).
$D_{2} \ge 0 \Rightarrow a^{2} + 2a - 4 \le 0 \Rightarrow a \in [-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5}]$.
$x_{3} \ge a$ всегда при $a$ из этого интервала.
$x_{4} \ge a \Rightarrow 2 - \sqrt{4 - a^{2} - 2a} \ge a$. После возведения в квадрат: $2a(a-1) \ge 0$, значит $a \le 0$ или $a \ge 1$.
С учётом $D_{2} \ge 0$: $x_{4} \ge a$ при $a \in [-1 - \sqrt{5}, 0] \cup [1, -1 + \sqrt{5}]$.
$D_{2} \ge 0 \Rightarrow a^{2} + 2a - 4 \le 0 \Rightarrow a \in [-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5}]$.
$x_{3} \ge a$ всегда при $a$ из этого интервала.
$x_{4} \ge a \Rightarrow 2 - \sqrt{4 - a^{2} - 2a} \ge a$. После возведения в квадрат: $2a(a-1) \ge 0$, значит $a \le 0$ или $a \ge 1$.
С учётом $D_{2} \ge 0$: $x_{4} \ge a$ при $a \in [-1 - \sqrt{5}, 0] \cup [1, -1 + \sqrt{5}]$.
Шаг 7
Определение $a$ для ровно двух корней.
Рассматриваем интервалы по $a$:
- При $a \in (-8, -1 - \sqrt{5})$: $D_{1} > 0$, $D_{2} < 0$. Оба корня (1) подходят ($a < 0$), корней (2) нет. Итого 2 корня.
- При $a = -1 - \sqrt{5}$: $D_{1} > 0$, $D_{2} = 0$. Уравнение (1) даёт два корня, уравнение (2) — один корень $x=2$, все различны. Итого 3 корня.
- При $a \in (-1 - \sqrt{5}, 0)$: $D_{1} > 0$, $D_{2} > 0$. Все четыре корня действительны и, кроме возможного общего корня, различны. При $a \ne 0$ общего корня нет, значит 4 корня.
- При $a = 0$: есть общий корень $x=0$. Получаем три различных корня: $0, 4, 8$.
- При $a \in (0, 1)$: $D_{1} > 0$, $D_{2} > 0$. Из (1) подходит только $x_{1}$, из (2) — только $x_{3}$, они различны. Итого 2 корня.
- При $a = 1$: есть общий корень $x=1$. Получаем три различных корня: $1, 3, 7$.
- При $a \in (1, -1 + \sqrt{5})$: $D_{1} > 0$, $D_{2} > 0$. Все четыре корня подходят и, при $a \ne 1$, различны. Итого 4 корня.
- При $a = -1 + \sqrt{5}$: $D_{1} > 0$, $D_{2} = 0$. Уравнение (1) даёт два корня, уравнение (2) — один корень $x=2$, все различны. Итого 3 корня.
- При $a \in (-1 + \sqrt{5}, 2)$: $D_{1} > 0$, $D_{2} < 0$. Оба корня (1) подходят ($a \ge 1$), корней (2) нет. Итого 2 корня.
- На границах $a = -8$ и $a = 2$ получаем по одному корню, при остальных $a$ — ноль.
Рассматриваем интервалы по $a$:
- При $a \in (-8, -1 - \sqrt{5})$: $D_{1} > 0$, $D_{2} < 0$. Оба корня (1) подходят ($a < 0$), корней (2) нет. Итого 2 корня.
- При $a = -1 - \sqrt{5}$: $D_{1} > 0$, $D_{2} = 0$. Уравнение (1) даёт два корня, уравнение (2) — один корень $x=2$, все различны. Итого 3 корня.
- При $a \in (-1 - \sqrt{5}, 0)$: $D_{1} > 0$, $D_{2} > 0$. Все четыре корня действительны и, кроме возможного общего корня, различны. При $a \ne 0$ общего корня нет, значит 4 корня.
- При $a = 0$: есть общий корень $x=0$. Получаем три различных корня: $0, 4, 8$.
- При $a \in (0, 1)$: $D_{1} > 0$, $D_{2} > 0$. Из (1) подходит только $x_{1}$, из (2) — только $x_{3}$, они различны. Итого 2 корня.
- При $a = 1$: есть общий корень $x=1$. Получаем три различных корня: $1, 3, 7$.
- При $a \in (1, -1 + \sqrt{5})$: $D_{1} > 0$, $D_{2} > 0$. Все четыре корня подходят и, при $a \ne 1$, различны. Итого 4 корня.
- При $a = -1 + \sqrt{5}$: $D_{1} > 0$, $D_{2} = 0$. Уравнение (1) даёт два корня, уравнение (2) — один корень $x=2$, все различны. Итого 3 корня.
- При $a \in (-1 + \sqrt{5}, 2)$: $D_{1} > 0$, $D_{2} < 0$. Оба корня (1) подходят ($a \ge 1$), корней (2) нет. Итого 2 корня.
- На границах $a = -8$ и $a = 2$ получаем по одному корню, при остальных $a$ — ноль.
Шаг 8
Объединение интервалов с двумя корнями.
Интервалы: $(-8, -1 - \sqrt{5})$, $(0, 1)$, $(-1 + \sqrt{5}, 2)$.
Интервалы: $(-8, -1 - \sqrt{5})$, $(0, 1)$, $(-1 + \sqrt{5}, 2)$.
Окончательный ответ:
$a \in (-8, -1-\sqrt{5}) \cup (0, 1) \cup (-1+\sqrt{5}, 2)$