Шаг 1
Введем координаты. Пусть A(0,0), B(1,0). Так как ∠BAD = 30°, вектор AD = ($\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2}$). Тогда D($\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2}$), C = B + AD = ($1+\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2}$).
Шаг 2
Найдем окружность через A, B, C. Центр лежит на серединном перпендикуляре к AB, значит, его x-координата равна $\frac{1}{2}$. Пусть центр O($\frac{1}{2}$, k). Из OA = OC находим k и R.
OA² = $(\frac{1}{2})^2 + k^2$, OC² = $(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (k - \frac{1}{2})^2$.
Приравниваем: $\frac{1}{4} + k^2 = (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 + (k - \frac{1}{2})^2$.
Раскрываем: $\frac{1}{4} + k^2 = \frac{1+2\sqrt{3}+3}{4} + k^2 - k + \frac{1}{4}$.
Упрощаем: $0 = \frac{4+2\sqrt{3}}{4} - k$, откуда k = $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Тогда R² = OA² = $\frac{1}{4} + (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + 1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} = 2 + \sqrt{3}$.
OA² = $(\frac{1}{2})^2 + k^2$, OC² = $(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (k - \frac{1}{2})^2$.
Приравниваем: $\frac{1}{4} + k^2 = (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 + (k - \frac{1}{2})^2$.
Раскрываем: $\frac{1}{4} + k^2 = \frac{1+2\sqrt{3}+3}{4} + k^2 - k + \frac{1}{4}$.
Упрощаем: $0 = \frac{4+2\sqrt{3}}{4} - k$, откуда k = $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Тогда R² = OA² = $\frac{1}{4} + (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + 1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} = 2 + \sqrt{3}$.
Шаг 3
Найдем точку E на продолжении AD за D. Прямая AD: (x, y) = t($\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2}$), t > 1. Подставим в уравнение окружности с центром O($\frac{1}{2}$, $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$):
$(t\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2})^2 + (t\frac{1}{2} - 1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2 + \sqrt{3}$.
Упрощаем: $\frac{1}{4}(t\sqrt{3} - 1)^2 + \frac{1}{4}(t - 2 - \sqrt{3})^2 = 2 + \sqrt{3}$.
Умножаем на 4: $(t\sqrt{3} - 1)^2 + (t - 2 - \sqrt{3})^2 = 8 + 4\sqrt{3}$.
Раскрываем: $3t^2 - 2t\sqrt{3} + 1 + t^2 - 2t(2+\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3})^2 = 8+4\sqrt{3}$.
$(2+\sqrt{3})^2 = 4+4\sqrt{3}+3 = 7+4\sqrt{3}$.
Суммируем: $4t^2 - 2t\sqrt{3} - 4t - 2t\sqrt{3} + 1 + 7+4\sqrt{3} = 4t^2 - 4t - 4t\sqrt{3} + 8 + 4\sqrt{3}$.
Уравнение: $4t^2 - 4t(1+\sqrt{3}) + 8+4\sqrt{3} = 8+4\sqrt{3}$.
Отсюда $4t^2 - 4t(1+\sqrt{3}) = 0$, $4t(t - 1 - \sqrt{3}) = 0$.
Так как t > 1, берем t = $1 + \sqrt{3}$.
Тогда E = ($(1+\sqrt{3})\frac{\sqrt{3}}{2}$, $(1+\sqrt{3})\frac{1}{2}$) = ($\frac{3+\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$).
$(t\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2})^2 + (t\frac{1}{2} - 1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2 + \sqrt{3}$.
Упрощаем: $\frac{1}{4}(t\sqrt{3} - 1)^2 + \frac{1}{4}(t - 2 - \sqrt{3})^2 = 2 + \sqrt{3}$.
Умножаем на 4: $(t\sqrt{3} - 1)^2 + (t - 2 - \sqrt{3})^2 = 8 + 4\sqrt{3}$.
Раскрываем: $3t^2 - 2t\sqrt{3} + 1 + t^2 - 2t(2+\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3})^2 = 8+4\sqrt{3}$.
$(2+\sqrt{3})^2 = 4+4\sqrt{3}+3 = 7+4\sqrt{3}$.
Суммируем: $4t^2 - 2t\sqrt{3} - 4t - 2t\sqrt{3} + 1 + 7+4\sqrt{3} = 4t^2 - 4t - 4t\sqrt{3} + 8 + 4\sqrt{3}$.
Уравнение: $4t^2 - 4t(1+\sqrt{3}) + 8+4\sqrt{3} = 8+4\sqrt{3}$.
Отсюда $4t^2 - 4t(1+\sqrt{3}) = 0$, $4t(t - 1 - \sqrt{3}) = 0$.
Так как t > 1, берем t = $1 + \sqrt{3}$.
Тогда E = ($(1+\sqrt{3})\frac{\sqrt{3}}{2}$, $(1+\sqrt{3})\frac{1}{2}$) = ($\frac{3+\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$).
Шаг 4
Найдем точку K на продолжении CD за D. Прямая CD горизонтальна: y = $\frac{1}{2}$. Подставим в уравнение окружности:
$(x - \frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2} - 1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2 + \sqrt{3}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2 + \sqrt{3}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 = 2 + \sqrt{3}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1+2\sqrt{3}+3}{4} = 2 + \sqrt{3}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{4+2\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$x - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}$.
Так как K лежит левее D (x-координата D = $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$, а $\frac{1}{2} = 0.5$), берем знак минус:
x = $\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}$.
Тогда K($\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}$, $\frac{1}{2}$).
$(x - \frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2} - 1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2 + \sqrt{3}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2 + \sqrt{3}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 = 2 + \sqrt{3}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1+2\sqrt{3}+3}{4} = 2 + \sqrt{3}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{4+2\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$x - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \pm \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}$.
Так как K лежит левее D (x-координата D = $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$, а $\frac{1}{2} = 0.5$), берем знак минус:
x = $\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}$.
Тогда K($\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}$, $\frac{1}{2}$).
Шаг 5
Докажем BK = BE.
Вычислим BE². B(1,0), E($\frac{3+\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$).
BE² = $(\frac{3+\sqrt{3}}{2} - 1)^2 + (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 = (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 = 2 \cdot (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{(1+\sqrt{3})^2}{2} = \frac{1+2\sqrt{3}+3}{2} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Вычислим BK². B(1,0), K($\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}$, $\frac{1}{2}$).
BK² = $(1 - \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}})^2 + \frac{1}{4}$.
Раскроем: $\frac{1}{4} + \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}} + \frac{2+\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}$.
Заметим, что $\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$.
Подставим: BK² = $\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1+\sqrt{3}}{2} = \frac{3+\sqrt{3}+1+\sqrt{3}}{2} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Таким образом, BK² = BE² = $2 + \sqrt{3}$, значит BK = BE. Доказано.
Вычислим BE². B(1,0), E($\frac{3+\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$).
BE² = $(\frac{3+\sqrt{3}}{2} - 1)^2 + (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 = (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 = 2 \cdot (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{(1+\sqrt{3})^2}{2} = \frac{1+2\sqrt{3}+3}{2} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Вычислим BK². B(1,0), K($\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}$, $\frac{1}{2}$).
BK² = $(1 - \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}})^2 + \frac{1}{4}$.
Раскроем: $\frac{1}{4} + \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}} + \frac{2+\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}$.
Заметим, что $\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$.
Подставим: BK² = $\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1+\sqrt{3}}{2} = \frac{3+\sqrt{3}+1+\sqrt{3}}{2} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Таким образом, BK² = BE² = $2 + \sqrt{3}$, значит BK = BE. Доказано.
Шаг 6
Найдем KE и AC.
Координаты K($\frac{1}{2} - \frac{1+\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2}$) = ($-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2}$) (так как $\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$).
E($\frac{3+\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$).
KE² = $(\frac{3+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1+\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2})^2 = (\frac{3+2\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{9+12\sqrt{3}+12}{4} + \frac{3}{4} = \frac{24+12\sqrt{3}}{4} = 6 + 3\sqrt{3} = 3(2+\sqrt{3})$.
AC² = расстояние от A(0,0) до C($1+\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2}$) = $(1+\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 2 + \sqrt{3}$.
Тогда KE = $\sqrt{3(2+\sqrt{3})}$, AC = $\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
Отношение $\frac{KE}{AC} = \sqrt{3}$.
Координаты K($\frac{1}{2} - \frac{1+\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2}$) = ($-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2}$) (так как $\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$).
E($\frac{3+\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$).
KE² = $(\frac{3+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1+\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2})^2 = (\frac{3+2\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{9+12\sqrt{3}+12}{4} + \frac{3}{4} = \frac{24+12\sqrt{3}}{4} = 6 + 3\sqrt{3} = 3(2+\sqrt{3})$.
AC² = расстояние от A(0,0) до C($1+\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2}$) = $(1+\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 2 + \sqrt{3}$.
Тогда KE = $\sqrt{3(2+\sqrt{3})}$, AC = $\sqrt{2+\sqrt{3}}$.
Отношение $\frac{KE}{AC} = \sqrt{3}$.
Окончательный ответ:
$\sqrt{3}$