Шаг 1
Сделаем замену: $t = 9^{\cos x}$. Тогда $81^{\cos x} = (9^2)^{\cos x} = t^2$.
Уравнение принимает вид: $9t^2 - 28t + 3 = 0$.
Уравнение принимает вид: $9t^2 - 28t + 3 = 0$.
Шаг 2
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $D = 28^2 - 4 \cdot 9 \cdot 3 = 784 - 108 = 676$.
Корни: $t = \frac{28 \pm 26}{18}$, то есть $t_1 = 3$, $t_2 = \frac{1}{9}$.
Корни: $t = \frac{28 \pm 26}{18}$, то есть $t_1 = 3$, $t_2 = \frac{1}{9}$.
Шаг 3
Возвращаемся к исходной переменной.
1) $9^{\cos x} = 3 \Rightarrow 9^{\cos x} = 9^{\frac{1}{2}} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$.
2) $9^{\cos x} = \frac{1}{9} \Rightarrow 9^{\cos x} = 9^{-1} \Rightarrow \cos x = -1$.
1) $9^{\cos x} = 3 \Rightarrow 9^{\cos x} = 9^{\frac{1}{2}} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$.
2) $9^{\cos x} = \frac{1}{9} \Rightarrow 9^{\cos x} = 9^{-1} \Rightarrow \cos x = -1$.
Шаг 4
Находим общие решения.
- Если $\cos x = \frac{1}{2}$, то $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
- Если $\cos x = -1$, то $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
- Если $\cos x = \frac{1}{2}$, то $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
- Если $\cos x = -1$, то $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 5
Отбираем корни на отрезке $\left[ \frac{5\pi}{2}; 4\pi \right]$.
- Для $x = \pi + 2\pi k$: при $k=1$ получаем $x = 3\pi$.
- Для $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=2$ и знаке "+" получаем $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} > 4\pi$ (не подходит). При $k=2$ и знаке "-" получаем $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$, что принадлежит отрезку.
- Для $x = \pi + 2\pi k$: при $k=1$ получаем $x = 3\pi$.
- Для $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=2$ и знаке "+" получаем $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} > 4\pi$ (не подходит). При $k=2$ и знаке "-" получаем $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$, что принадлежит отрезку.
Окончательный ответ:
$3\pi$, $\frac{11\pi}{3}$.