Шаг 1
В правильном тетраэдре все рёбра равны. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Из симметрии тетраэдра прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.
Результат:
Условие а) доказано.
Шаг 2
Плоскость $\alpha$ перпендикулярна $MN$ и проходит через точку $K$ на $BC$, где $BK = 1$, $KC = 3$. Поскольку $MN$ перпендикулярна $AB$ и $CD$, плоскость $\alpha$ будет параллельна этим рёбрам. Сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$ — прямоугольник, стороны которого параллельны $AB$ и $CD$. Длины сторон прямоугольника равны $1$ и $3$.
Результат:
Площадь прямоугольника равна $1 \cdot 3 = 3$.
Окончательный ответ:
3