Шаг 1
Докажем равенство углов.
Рассмотрим треугольники $BB_1C_1$ и $BAH$.
Они прямоугольные ($\angle BB_1C_1 = \angle BHA = 90^\circ$) и имеют общий угол $\angle B$. Следовательно, они подобны. Из подобия следует $\angle BB_1C_1 = \angle BAH$, что и требовалось.
Рассмотрим треугольники $BB_1C_1$ и $BAH$.
Они прямоугольные ($\angle BB_1C_1 = \angle BHA = 90^\circ$) и имеют общий угол $\angle B$. Следовательно, они подобны. Из подобия следует $\angle BB_1C_1 = \angle BAH$, что и требовалось.
Шаг 2
Найдем сторону $BC$.
Отрезок $B_1C_1$ является проекцией стороны $BC$ на прямую, перпендикулярную $AH$. Из прямоугольных треугольников можно получить соотношение: $B_1C_1 = BC \cdot \cos \angle BAC$.
Подставляем данные: $B_1C_1 = 18$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Получаем: $BC = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 12\sqrt{3}$.
Отрезок $B_1C_1$ является проекцией стороны $BC$ на прямую, перпендикулярную $AH$. Из прямоугольных треугольников можно получить соотношение: $B_1C_1 = BC \cdot \cos \angle BAC$.
Подставляем данные: $B_1C_1 = 18$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Получаем: $BC = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 12\sqrt{3}$.
Шаг 3
Найдем радиус описанной окружности $R$.
Используем теорему синусов: $R = \frac{BC}{2 \sin \angle BAC}$.
Подставляем: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $BC = 12\sqrt{3}$.
Получаем: $R = \frac{12\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 12\sqrt{3}$.
Используем теорему синусов: $R = \frac{BC}{2 \sin \angle BAC}$.
Подставляем: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $BC = 12\sqrt{3}$.
Получаем: $R = \frac{12\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 12\sqrt{3}$.
Шаг 4
Найдем искомое расстояние $d$ от центра описанной окружности до стороны $BC$.
Это расстояние равно $d = R \cdot \cos \angle A$.
Подставляем: $R = 12\sqrt{3}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Получаем: $d = 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18$.
Это расстояние равно $d = R \cdot \cos \angle A$.
Подставляем: $R = 12\sqrt{3}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Получаем: $d = 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18$.
Окончательный ответ:
18