Задание E0A3D8

Так как образующая перпендикулярна основанию, ось цилиндра проходит через центры оснований. Обозначим центр нижнего основания как $O$, а верхнего — как $O_1$.

Отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. Это означает, что проекции точек $A$ и $C_1$ на плоскость нижнего основания симметричны относительно центра $O$. Следовательно, проекция отрезка $AC_1$ является диаметром окружности нижнего основания.

Точка $B$ лежит на той же окружности нижнего основания, что и $A$. По теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр, угол $ABC_1$ — прямой. Доказано.

Перейдём к вычислениям. Пусть $R$ — радиус основания, $h = BB_1 = 24$ — высота цилиндра. Обозначим центральный угол $\angle AOB = \theta$. Тогда $AB = 2R \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 7$.

Проекция отрезка $B_1C_1$ на нижнее основание равна $B_1C_1 = 10$ (так как $B_1C_1$ параллелен основанию). Эта проекция является хордой, стягивающей угол, дополнительный к $\theta$, поэтому $B_1C_1 = 2R \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 10$.

Из полученных соотношений имеем: $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{7}{2R}$ и $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{5}{R}$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right) + \cos^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1$. Подставляем: $\left(\frac{7}{2R}\right)^{2} + \left(\frac{5}{R}\right)^{2} = 1$.

Упрощаем уравнение: $\frac{49}{4R^{2}} + \frac{25}{R^{2}} = 1$. Умножаем на $4R^{2}$: $49 + 100 = 4R^{2}$, откуда $4R^{2} = 149$ и $R^{2} = \frac{149}{4}$.

Объём цилиндра $V = \pi R^{2} h = \pi \cdot \frac{149}{4} \cdot 24$.

Вычисляем: $V = \pi \cdot 149 \cdot 6 = 894\pi$.