Шаг 1
Объединяем логарифмы слева.
Результат:
$\log_5\left((3x+1)\left(\frac{1}{72}x^2+1\right)\right) \ge \log_5\left(\frac{1}{24}x+1\right)$.
Шаг 2
Основание логарифма больше 1, поэтому переходим к неравенству аргументов.
Результат:
$(3x+1)\left(\frac{1}{72}x^2+1\right) \ge \frac{1}{24}x+1$.
Шаг 3
Раскрываем скобки и упрощаем.
Результат:
$\frac{1}{24}x^3 + \frac{1}{72}x^2 + 3x + 1 \ge \frac{1}{24}x + 1$.
Шаг 4
Переносим все в одну сторону.
Результат:
$\frac{1}{24}x^3 + \frac{1}{72}x^2 + \frac{71}{24}x \ge 0$.
Шаг 5
Умножаем на 72 для удобства.
Результат:
$3x^3 + x^2 + 213x \ge 0$.
Шаг 6
Выносим $x$.
Результат:
$x(3x^2 + x + 213) \ge 0$.
Шаг 7
Квадратный трёхчлен $3x^2 + x + 213$ имеет дискриминант $1 - 4 \cdot 3 \cdot 213 = -2555 < 0$ и положителен при всех $x$.
Результат:
Знак произведения определяется знаком $x$.
Шаг 8
Учитывая знак, получаем $x \ge 0$.
Шаг 9
Учтём ОДЗ: $3x+1 > 0$ и $\frac{1}{24}x+1 > 0$.
Результат:
$x > -\frac{1}{3}$ и $x > -24$. Общее условие: $x > -\frac{1}{3}$.
Шаг 10
Объединяем решение неравенства ($x \ge 0$) и ОДЗ ($x > -\frac{1}{3}$).
Результат:
$x \ge 0$.
Окончательный ответ:
$x \in [0, \infty)$.