Шаг 1
Введём систему координат. Пусть основание призмы — квадрат со стороной $\sqrt{3}$ (так как его площадь равна 3). Тогда:
$A(0,0,0)$, $B(\sqrt{3},0,0)$, $D(0,\sqrt{3},0)$, $A_1(0,0,h)$.
Так как $M$ лежит на $AA_1$ и $MB_1KD$ — ромб, то $M$ — середина $AA_1$. Следовательно, $M = (0,0,\frac{h}{2})$.
$A(0,0,0)$, $B(\sqrt{3},0,0)$, $D(0,\sqrt{3},0)$, $A_1(0,0,h)$.
Так как $M$ лежит на $AA_1$ и $MB_1KD$ — ромб, то $M$ — середина $AA_1$. Следовательно, $M = (0,0,\frac{h}{2})$.
Шаг 2
Диагонали ромба $B_1D$ и $MK$ перпендикулярны и делятся пополам точкой пересечения $O$. Найдём $O$ — середину $B_1D$, где $B_1 = (\sqrt{3},0,h)$.
$O = \left( \frac{\sqrt{3}+0}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, \frac{h+0}{2} \right) = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{h}{2} \right)$.
Так как $O$ — середина и $MK$, и $M = (0,0,\frac{h}{2})$, то $K = (2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 2 \cdot \frac{h}{2} - \frac{h}{2}) = (\sqrt{3}, \sqrt{3}, \frac{h}{2})$.
$O = \left( \frac{\sqrt{3}+0}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, \frac{h+0}{2} \right) = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{h}{2} \right)$.
Так как $O$ — середина и $MK$, и $M = (0,0,\frac{h}{2})$, то $K = (2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 2 \cdot \frac{h}{2} - \frac{h}{2}) = (\sqrt{3}, \sqrt{3}, \frac{h}{2})$.
Шаг 3
Вычислим длины диагоналей ромба.
$B_1D = \sqrt{(\sqrt{3}-0)^2 + (0-\sqrt{3})^2 + (h-0)^2} = \sqrt{3+3+h^2} = \sqrt{6+h^2}$.
$MK = \sqrt{(\sqrt{3}-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2 + (\frac{h}{2}-\frac{h}{2})^2} = \sqrt{3+3+0} = \sqrt{6}$.
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{6+h^2} \cdot \sqrt{6} = 6$.
Отсюда $\sqrt{6(6+h^2)} = 12$, $6(6+h^2) = 144$, $6+h^2 = 24$, $h^2 = 18$.
Следовательно, $h = 3\sqrt{2}$ (высота положительна).
$B_1D = \sqrt{(\sqrt{3}-0)^2 + (0-\sqrt{3})^2 + (h-0)^2} = \sqrt{3+3+h^2} = \sqrt{6+h^2}$.
$MK = \sqrt{(\sqrt{3}-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2 + (\frac{h}{2}-\frac{h}{2})^2} = \sqrt{3+3+0} = \sqrt{6}$.
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{6+h^2} \cdot \sqrt{6} = 6$.
Отсюда $\sqrt{6(6+h^2)} = 12$, $6(6+h^2) = 144$, $6+h^2 = 24$, $h^2 = 18$.
Следовательно, $h = 3\sqrt{2}$ (высота положительна).
Окончательный ответ:
$3\sqrt{2}$