Шаг 1
Обозначим углы треугольника $ABC$. Пусть $\angle ABC = \alpha$, тогда $\angle BAC = 2\alpha$ по условию. Так как треугольник остроугольный, $\alpha < 45^\circ$. Третий угол: $\angle ACB = 180^\circ - 3\alpha$.
Результат:
$\angle ABC = \alpha$, $\angle BAC = 2\alpha$, $\angle ACB = 180^\circ - 3\alpha$.
Шаг 2
Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, поэтому $OA = OB = OC = R$. В треугольнике $AOC$: $OA = OC = R$. Угол $\angle AOC$ — центральный, опирающийся на дугу $AC$, поэтому $\angle AOC = 2 \angle ABC = 2\alpha$.
Результат:
$\angle AOC = 2\alpha$, $OA = OC = R$.
Шаг 3
Окружность, описанная около $\triangle AOC$, пересекает $BC$ в точках $C$ и $P$. Точки $A$, $O$, $C$, $P$ лежат на одной окружности. В этой окружности вписанный угол $\angle APC$ опирается на дугу $AC$, как и угол $\angle AOC$. Если $P$ и $O$ лежат по одну сторону от хорды $AC$, то $\angle APC = \angle AOC = 2\alpha$. Если по разные стороны, то $\angle APC = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 2\alpha$. Рассмотрим оба случая.
Результат:
Возможны два значения: $\angle APC = 2\alpha$ или $\angle APC = 180^\circ - 2\alpha$.
Шаг 4
Найдём угол $\angle PAC$ в $\triangle APC$. Сумма углов треугольника: $\angle PAC + \angle APC + \angle ACP = 180^\circ$, где $\angle ACP = \angle ACB = 180^\circ - 3\alpha$.
- Если $\angle APC = 2\alpha$, то $\angle PAC = 180^\circ - 2\alpha - (180^\circ - 3\alpha) = \alpha$.
- Если $\angle APC = 180^\circ - 2\alpha$, то $\angle PAC = 180^\circ - (180^\circ - 2\alpha) - (180^\circ - 3\alpha) = 5\alpha - 180^\circ$.
- Если $\angle APC = 2\alpha$, то $\angle PAC = 180^\circ - 2\alpha - (180^\circ - 3\alpha) = \alpha$.
- Если $\angle APC = 180^\circ - 2\alpha$, то $\angle PAC = 180^\circ - (180^\circ - 2\alpha) - (180^\circ - 3\alpha) = 5\alpha - 180^\circ$.
Результат:
Возможны $\angle PAC = \alpha$ или $\angle PAC = 5\alpha - 180^\circ$.
Шаг 5
Докажем подобие $\triangle PAC \sim \triangle ABC$.
В $\triangle ABC$ углы: $\alpha$, $2\alpha$, $180^\circ - 3\alpha$.
Рассмотрим первый случай: $\angle PAC = \alpha$, $\angle APC = 2\alpha$, $\angle ACP = 180^\circ - 3\alpha$. Тогда углы $\triangle PAC$ равны $\alpha$, $2\alpha$, $180^\circ - 3\alpha$, что соответствует углам $\triangle ABC$ (с точностью до порядка). Значит, треугольники подобны.
Во втором случае: $\angle PAC = 5\alpha - 180^\circ$, $\angle APC = 180^\circ - 2\alpha$, $\angle ACP = 180^\circ - 3\alpha$. Для подобия нужно, чтобы эти углы совпадали с углами $\triangle ABC$. Например, если $\angle PAC = \alpha$, то $5\alpha - 180^\circ = \alpha \Rightarrow \alpha = 45^\circ$, но тогда $\angle BAC = 90^\circ$, что противоречит остроугольности. Если $\angle PAC = 2\alpha$, то $5\alpha - 180^\circ = 2\alpha \Rightarrow \alpha = 60^\circ$, тогда $\angle BAC = 120^\circ$ — не остроугольный. Значит, второй случай не подходит для остроугольного треугольника. Остаётся первый.
В $\triangle ABC$ углы: $\alpha$, $2\alpha$, $180^\circ - 3\alpha$.
Рассмотрим первый случай: $\angle PAC = \alpha$, $\angle APC = 2\alpha$, $\angle ACP = 180^\circ - 3\alpha$. Тогда углы $\triangle PAC$ равны $\alpha$, $2\alpha$, $180^\circ - 3\alpha$, что соответствует углам $\triangle ABC$ (с точностью до порядка). Значит, треугольники подобны.
Во втором случае: $\angle PAC = 5\alpha - 180^\circ$, $\angle APC = 180^\circ - 2\alpha$, $\angle ACP = 180^\circ - 3\alpha$. Для подобия нужно, чтобы эти углы совпадали с углами $\triangle ABC$. Например, если $\angle PAC = \alpha$, то $5\alpha - 180^\circ = \alpha \Rightarrow \alpha = 45^\circ$, но тогда $\angle BAC = 90^\circ$, что противоречит остроугольности. Если $\angle PAC = 2\alpha$, то $5\alpha - 180^\circ = 2\alpha \Rightarrow \alpha = 60^\circ$, тогда $\angle BAC = 120^\circ$ — не остроугольный. Значит, второй случай не подходит для остроугольного треугольника. Остаётся первый.
Результат:
$\triangle PAC \sim \triangle ABC$ по двум углам.
Шаг 6
Найдём $AB$, если $AC = 2$, $BC = \sqrt{10}$.
Из подобия: $\frac{PA}{AB} = \frac{AC}{BC} = \frac{PC}{AC}$. Пусть $k = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.
Тогда $PC = k \cdot AC = \frac{2}{\sqrt{10}} \cdot 2 = \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$.
Также $BP = BC - PC = \sqrt{10} - \frac{2\sqrt{10}}{5} = \frac{3\sqrt{10}}{5}$.
Для нахождения $AB$ используем теорему синусов в $\triangle ABC$:
$\frac{AB}{\sin(180^\circ - 3\alpha)} = \frac{BC}{\sin(2\alpha)} = \frac{AC}{\sin\alpha}$.
Из $\frac{BC}{AC} = \frac{\sin(2\alpha)}{\sin\alpha}$ получаем $\frac{\sqrt{10}}{2} = 2\cos\alpha \Rightarrow \cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{4}$.
Тогда $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{10}{16}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.
Из $\frac{AC}{\sin\alpha} = \frac{2}{\frac{\sqrt{6}}{4}} = \frac{8}{\sqrt{6}}$ находим общий коэффициент: $2R = \frac{8}{\sqrt{6}}$.
Теперь $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha = 3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} - 4 \cdot \left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^3 = \frac{3\sqrt{6}}{4} - \frac{3\sqrt{6}}{8} = \frac{3\sqrt{6}}{8}$.
Тогда $AB = \frac{8}{\sqrt{6}} \cdot \sin(3\alpha) = \frac{8}{\sqrt{6}} \cdot \frac{3\sqrt{6}}{8} = 3$.
Из подобия: $\frac{PA}{AB} = \frac{AC}{BC} = \frac{PC}{AC}$. Пусть $k = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.
Тогда $PC = k \cdot AC = \frac{2}{\sqrt{10}} \cdot 2 = \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$.
Также $BP = BC - PC = \sqrt{10} - \frac{2\sqrt{10}}{5} = \frac{3\sqrt{10}}{5}$.
Для нахождения $AB$ используем теорему синусов в $\triangle ABC$:
$\frac{AB}{\sin(180^\circ - 3\alpha)} = \frac{BC}{\sin(2\alpha)} = \frac{AC}{\sin\alpha}$.
Из $\frac{BC}{AC} = \frac{\sin(2\alpha)}{\sin\alpha}$ получаем $\frac{\sqrt{10}}{2} = 2\cos\alpha \Rightarrow \cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{4}$.
Тогда $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{10}{16}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.
Из $\frac{AC}{\sin\alpha} = \frac{2}{\frac{\sqrt{6}}{4}} = \frac{8}{\sqrt{6}}$ находим общий коэффициент: $2R = \frac{8}{\sqrt{6}}$.
Теперь $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha = 3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} - 4 \cdot \left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^3 = \frac{3\sqrt{6}}{4} - \frac{3\sqrt{6}}{8} = \frac{3\sqrt{6}}{8}$.
Тогда $AB = \frac{8}{\sqrt{6}} \cdot \sin(3\alpha) = \frac{8}{\sqrt{6}} \cdot \frac{3\sqrt{6}}{8} = 3$.
Результат:
$AB = 3$.
Окончательный ответ:
$3$