Шаг 1
В сечении — ромб, его диагонали перпендикулярны. Одна диагональ — $BD_1$, другая параллельна $AC$. Следовательно, $BD_1 \perp AC$.
Шаг 2
Введём координаты: $A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$, $D_1(0,y,6)$. Тогда векторы $BD_1 = (-4, y, 6)$ и $AC = (4, y, 0)$.
Шаг 3
Условие перпендикулярности: $BD_1 \cdot AC = 0$. Получаем $(-4)\cdot4 + y\cdot y + 6\cdot0 = -16 + y^2 = 0$, откуда $y^2 = 16$, $y = 4$.
Шаг 4
Так как $AB = 4$ и $AD = 4$, грань $ABCD$ — квадрат. Доказано.
Шаг 5
Для нахождения угла между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$ найдём их нормали. Плоскость $\alpha$ содержит векторы $AC = (4,4,0)$ и $BD_1 = (-4,4,6)$.
Шаг 6
Нормаль к $\alpha$: $n_{\alpha} = AC \times BD_1 = (24, -24, 32)$.
Шаг 7
Плоскость $BCC_1$ содержит векторы $BC = (0,4,0)$ и $BC_1 = (0,4,6)$. Её нормаль: $n_{BCC_1} = BC \times BC_1 = (24, 0, 0)$.
Шаг 8
Угол $\theta$ между плоскостями: $\cos\theta = \frac{|n_{\alpha} \cdot n_{BCC_1}|}{\|n_{\alpha}\| \cdot \|n_{BCC_1}\|}$. Скалярное произведение: $24 \cdot 24 = 576$. Длины: $\|n_{\alpha}\| = \sqrt{24^2 + (-24)^2 + 32^2} = 8\sqrt{34}$, $\|n_{BCC_1}\| = 24$. Тогда $\cos\theta = \frac{576}{8\sqrt{34} \cdot 24} = \frac{3}{\sqrt{34}}$.
Шаг 9
Искомый угол: $\theta = \arccos\frac{3}{\sqrt{34}} \approx 59^\circ$.
Окончательный ответ:
$59^\circ$