Задание E7B60F

Введём замену $t = \log_5 x$. Тогда $\log_5(25x) = \log_5 25 + \log_5 x = 2 + t$.

Подставим в неравенство:
$$
\frac{t+2}{t-2} + \frac{t-2}{t+2} \ge \frac{6 - 4t}{t^2 - 4}.
$$

Упростим левую часть:
$$
\frac{(t+2)^2 + (t-2)^2}{t^2 - 4} = \frac{2t^2 + 8}{t^2 - 4} = \frac{2(t^2 + 4)}{t^2 - 4}.
$$
Неравенство принимает вид:
$$
\frac{2(t^2 + 4)}{t^2 - 4} \ge \frac{6 - 4t}{t^2 - 4}.
$$

Рассмотрим два случая для знаменателя $t^2 - 4$.

Случай 1: $t^2 - 4 > 0$ (т.е. $t < -2$ или $t > 2$). Умножаем на положительный знаменатель:
$$
2(t^2 + 4) \ge 6 - 4t \Rightarrow 2t^2 + 4t + 2 \ge 0 \Rightarrow 2(t+1)^2 \ge 0.
$$
Это верно для всех $t$. Учитывая условие случая, получаем $t < -2$ или $t > 2$.

Случай 2: $t^2 - 4 < 0$ (т.е. $-2 < t < 2$). Умножаем на отрицательный знаменатель, меняем знак неравенства:
$$
2(t^2 + 4) \le 6 - 4t \Rightarrow 2(t+1)^2 \le 0.
$$
Это возможно только при $t = -1$, что входит в интервал $(-2, 2)$.

Возвращаемся к $x = 5^t$.
- Из $t < -2$: $x < 5^{-2} = \frac{1}{25}$, причём $x > 0$ по ОДЗ логарифма.
- Из $t > 2$: $x > 5^2 = 25$.
- Из $t = -1$: $x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Точки $x = \frac{1}{25}$ и $x = 25$ исключаются, так как знаменатель $t^2 - 4$ обращается в ноль.