Шаг 1
Упростим уравнение, используя свойства чётности и нечётности: $\sin(-x) = -\sin x$, $\cos(-x) = \cos x$.
Результат:
$\sin 2x - 2\sin x + \cos x - 1 = 0$
Шаг 2
Применим формулу двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
Результат:
$2\sin x \cos x - 2\sin x + \cos x - 1 = 0$
Шаг 3
Сгруппируем и разложим на множители: $(2\sin x \cos x - 2\sin x) + (\cos x - 1) = 2\sin x(\cos x - 1) + (\cos x - 1) = (\cos x - 1)(2\sin x + 1) = 0$
Шаг 4
Получаем две возможности:
1) $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}$
2) $2\sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}$
1) $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}$
2) $2\sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}$
Шаг 5
Найдём корни на отрезке $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.
Для $x = 2\pi k$: при $k=1$ получаем $x = 2\pi$.
Для $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$: при $k=1$ получаем $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6}$.
Для $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$: при $k=1$ получаем $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi = \frac{23\pi}{6} > \frac{7\pi}{2}$, не входит.
Для $x = 2\pi k$: при $k=1$ получаем $x = 2\pi$.
Для $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$: при $k=1$ получаем $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6}$.
Для $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$: при $k=1$ получаем $x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi = \frac{23\pi}{6} > \frac{7\pi}{2}$, не входит.
Окончательный ответ:
$2\pi,\; \frac{19\pi}{6}$