Шаг 1
Анализ условия.
Исходное неравенство: $\log_{2}(3(25-x^{2})) - 3\log_{3}(25-x^{2}) + 2 \ge 0$.
Исходное неравенство: $\log_{2}(3(25-x^{2})) - 3\log_{3}(25-x^{2}) + 2 \ge 0$.
Результат:
Работаем с этим неравенством.
Шаг 2
Преобразование логарифмов.
Используем свойства: $\log_{2}(3(25-x^{2})) = \log_{2}3 + \log_{2}(25-x^{2})$.
Переходим к основанию 3: $\log_{2}3 = \frac{1}{\log_{3}2}$, $\log_{2}(25-x^{2}) = \frac{\log_{3}(25-x^{2})}{\log_{3}2}$.
Тогда $\log_{2}(3(25-x^{2})) = \frac{1 + \log_{3}(25-x^{2})}{\log_{3}2}$.
Используем свойства: $\log_{2}(3(25-x^{2})) = \log_{2}3 + \log_{2}(25-x^{2})$.
Переходим к основанию 3: $\log_{2}3 = \frac{1}{\log_{3}2}$, $\log_{2}(25-x^{2}) = \frac{\log_{3}(25-x^{2})}{\log_{3}2}$.
Тогда $\log_{2}(3(25-x^{2})) = \frac{1 + \log_{3}(25-x^{2})}{\log_{3}2}$.
Результат:
Неравенство принимает вид $\frac{1 + \log_{3}(25-x^{2})}{\log_{3}2} - 3\log_{3}(25-x^{2}) + 2 \ge 0$.
Шаг 3
Замена $t = \log_{3}(25-x^{2})$.
Получаем: $\frac{1+t}{\log_{3}2} - 3t + 2 \ge 0$.
Умножаем на положительное $\log_{3}2$: $1 + t - 3t\log_{3}2 + 2\log_{3}2 \ge 0$.
Получаем: $\frac{1+t}{\log_{3}2} - 3t + 2 \ge 0$.
Умножаем на положительное $\log_{3}2$: $1 + t - 3t\log_{3}2 + 2\log_{3}2 \ge 0$.
Результат:
$1 + 2\log_{3}2 + t(1 - 3\log_{3}2) \ge 0$.
Шаг 4
Решение линейного неравенства.
Заметим, что $1 - 3\log_{3}2 = \log_{3}\frac{3}{8} < 0$.
Переносим: $t(1 - 3\log_{3}2) \ge -1 - 2\log_{3}2$.
Делим на отрицательный коэффициент, меняя знак: $t \le \frac{-1 - 2\log_{3}2}{1 - 3\log_{3}2} = \frac{1 + 2\log_{3}2}{3\log_{3}2 - 1}$.
Заметим, что $1 - 3\log_{3}2 = \log_{3}\frac{3}{8} < 0$.
Переносим: $t(1 - 3\log_{3}2) \ge -1 - 2\log_{3}2$.
Делим на отрицательный коэффициент, меняя знак: $t \le \frac{-1 - 2\log_{3}2}{1 - 3\log_{3}2} = \frac{1 + 2\log_{3}2}{3\log_{3}2 - 1}$.
Результат:
$t \le \frac{1 + 2\log_{3}2}{3\log_{3}2 - 1}$.
Шаг 5
Упрощение правой части.
Обозначим $a = \log_{3}2$. Тогда правая часть равна $\frac{1+2a}{3a-1}$.
Преобразуем: $\frac{1+2a}{3a-1} = \frac{\log_{3}3 + \log_{3}4}{\log_{3}8 - \log_{3}3} = \frac{\log_{3}12}{\log_{3}\frac{8}{3}} = \log_{8/3}12$.
Обозначим $a = \log_{3}2$. Тогда правая часть равна $\frac{1+2a}{3a-1}$.
Преобразуем: $\frac{1+2a}{3a-1} = \frac{\log_{3}3 + \log_{3}4}{\log_{3}8 - \log_{3}3} = \frac{\log_{3}12}{\log_{3}\frac{8}{3}} = \log_{8/3}12$.
Результат:
$t \le \log_{8/3}12$.
Шаг 6
Возвращаемся к $t = \log_{3}(25-x^{2})$.
Имеем: $\log_{3}(25-x^{2}) \le \log_{8/3}12$.
Так как основание $3 > 1$, это равносильно $25-x^{2} \le 3^{\log_{8/3}12}$.
Обозначим $M = 3^{\log_{8/3}12}$. Тогда $25 - x^{2} \le M$.
Учитываем ОДЗ: $25-x^{2} > 0 \Rightarrow x^{2} < 25$.
Имеем: $\log_{3}(25-x^{2}) \le \log_{8/3}12$.
Так как основание $3 > 1$, это равносильно $25-x^{2} \le 3^{\log_{8/3}12}$.
Обозначим $M = 3^{\log_{8/3}12}$. Тогда $25 - x^{2} \le M$.
Учитываем ОДЗ: $25-x^{2} > 0 \Rightarrow x^{2} < 25$.
Результат:
Система: $x^{2} \ge 25 - M$ и $x^{2} < 25$.
Шаг 7
Выражение для $M$.
Используем формулу $a^{\log_{b}c} = c^{\log_{b}a}$:
$M = 3^{\log_{8/3}12} = 12^{\log_{8/3}3}$.
Так как $\log_{8/3}3 = \frac{1}{\log_{3}(8/3)} = \frac{1}{3\log_{3}2 - 1}$, получаем $M = 12^{\frac{1}{3\log_{3}2 - 1}}$.
Тогда $25 - M = 25 - 12^{\frac{1}{3\log_{3}2 - 1}}$.
Численно $M \approx 17.0$, поэтому $25 - M \approx 8 > 0$.
Используем формулу $a^{\log_{b}c} = c^{\log_{b}a}$:
$M = 3^{\log_{8/3}12} = 12^{\log_{8/3}3}$.
Так как $\log_{8/3}3 = \frac{1}{\log_{3}(8/3)} = \frac{1}{3\log_{3}2 - 1}$, получаем $M = 12^{\frac{1}{3\log_{3}2 - 1}}$.
Тогда $25 - M = 25 - 12^{\frac{1}{3\log_{3}2 - 1}}$.
Численно $M \approx 17.0$, поэтому $25 - M \approx 8 > 0$.
Результат:
$x^{2} \ge 25 - 12^{\frac{1}{3\log_{3}2 - 1}}$ и $x^{2} < 25$.
Шаг 8
Окончательное решение.
Из системы получаем: $\sqrt{25 - 12^{\frac{1}{3\log_{3}2 - 1}}} \le |x| < 5$.
Таким образом, $x \in \left(-5, -\sqrt{25 - 12^{\frac{1}{3\log_{3}2 - 1}}}\right] \cup \left[\sqrt{25 - 12^{\frac{1}{3\log_{3}2 - 1}}}, 5\right)$.
Из системы получаем: $\sqrt{25 - 12^{\frac{1}{3\log_{3}2 - 1}}} \le |x| < 5$.
Таким образом, $x \in \left(-5, -\sqrt{25 - 12^{\frac{1}{3\log_{3}2 - 1}}}\right] \cup \left[\sqrt{25 - 12^{\frac{1}{3\log_{3}2 - 1}}}, 5\right)$.
Окончательный ответ:
$x \in \left(-5, -\sqrt{25 - 12^{\frac{1}{3\log_{3}2 - 1}}}\right] \cup \left[\sqrt{25 - 12^{\frac{1}{3\log_{3}2 - 1}}}, 5\right)$.