Задание E99B49

Введем замену $t = 4x + |x-a| - |3x+1|$. Уравнение принимает вид $t^2 - (a+1)t + 1 = 0$.

Дискриминант квадратного уравнения: $D = (a+1)^2 - 4 = a^2 + 2a - 3 = (a+3)(a-1)$.

Исходное уравнение должно иметь ровно два различных корня по $x$. Это возможно в двух ситуациях:
1) Квадратное уравнение имеет один корень $t_0$, и уравнение $t(x) = t_0$ имеет ровно два решения по $x$.
2) Квадратное уравнение имеет два различных корня $t_1$ и $t_2$, и каждое из уравнений $t(x) = t_1$ и $t(x) = t_2$ имеет ровно одно решение по $x$.

Исследуем функцию $t(x) = 4x + |x-a| - |3x+1|$. Критические точки: $x = a$ и $x = -\frac{1}{3}$. Рассмотрим три случая расположения $a$ относительно $-\frac{1}{3}$.

Случай $a < -\frac{1}{3}$. Тогда:
- При $x \le a$: $t(x) = 6x + a + 1$.
- При $a < x \le -\frac{1}{3}$: $t(x) = 8x - a + 1$.
- При $x > -\frac{1}{3}$: $t(x) = 2x - a - 1$.
Функция непрерывна и строго возрастает (все коэффициенты положительны), поэтому для любого $t_0$ уравнение $t(x) = t_0$ имеет ровно одно решение.

В этом случае ($a < -\frac{1}{3}$) исходное уравнение имеет ровно два корня по $x$ только если квадратное уравнение имеет два различных корня по $t$, то есть $D > 0$. Так как $a < -\frac{1}{3}$, условие $D > 0$ дает $a < -3$. При $a = -3$ ($D=0$) получаем один корень по $x$, при $-3 < a < -\frac{1}{3}$ ($D < 0$) корней нет. Итак, для $a < -\frac{1}{3}$ подходят $a < -3$.

Случай $a = -\frac{1}{3}$. Тогда:
- При $x \le -\frac{1}{3}$: $t(x) = 6x + \frac{2}{3}$.
- При $x > -\frac{1}{3}$: $t(x) = 2x - \frac{2}{3}$.
Функция также строго возрастает и непрерывна. Дискриминант $D = \left(-\frac{1}{3}+3\right)\left(-\frac{1}{3}-1\right) = \frac{8}{3} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{32}{9} < 0$, поэтому корней нет. Случай не подходит.

Случай $a > -\frac{1}{3}$. Тогда:
- При $x \le -\frac{1}{3}$: $t(x) = 6x + a + 1$, возрастает, $t\left(-\frac{1}{3}\right) = a - 1$.
- При $-\frac{1}{3} < x \le a$: $t(x) = a - 1$ (постоянна).
- При $x > a$: $t(x) = 2x - a - 1$, возрастает, $t(a) = a - 1$.
Функция непрерывна. Уравнение $t(x) = t_0$ имеет: одно решение при $t_0 < a-1$, бесконечно много решений при $t_0 = a-1$, одно решение при $t_0 > a-1$.

Корни квадратного уравнения $t_1$ и $t_2$ положительны (сумма $a+1 > 0$, произведение $1 > 0$). Чтобы исходное уравнение имело ровно два корня по $x$, необходимо, чтобы ни один из корней не равнялся $a-1$ (иначе бесконечно много решений).

Подставим $t = a-1$ в квадратное уравнение: $(a-1)^2 - (a+1)(a-1) + 1 = -2a + 3 = 0 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$. Значит, при $a = \frac{3}{2}$ один из корней равен $a-1$, что приводит к бесконечно многим корням по $x$.

Теперь разберем подслучаи для $a > -\frac{1}{3}$:
- Если $D > 0$ ($a > 1$ или $a < -3$, но $a > -\frac{1}{3}$, значит $a > 1$), то есть два различных корня $t_1, t_2$. При $a > 1$ и $a \ne \frac{3}{2}$ оба корня не равны $a-1$, каждый дает ровно одно решение по $x$, итого 2 корня — подходит.
- Если $D = 0$ ($a = 1$ или $a = -3$, но $a > -\frac{1}{3}$, значит $a = 1$), то один корень $t_0 = 1$. При $a=1$ имеем $a-1=0$, $t_0 \ne a-1$, уравнение $t(x)=1$ имеет одно решение — всего 1 корень, не подходит.
- Если $D < 0$ ($-3 < a < 1$, и $a > -\frac{1}{3}$, значит $-\frac{1}{3} < a < 1$), корней нет — не подходит.

Объединяя все случаи:
1) $a < -\frac{1}{3}$: подходят $a < -3$.
2) $a = -\frac{1}{3}$: не подходит.
3) $a > -\frac{1}{3}$: подходят $a > 1$ и $a \ne \frac{3}{2}$.
Проверка границ: $a = -3$ дает один корень, $a = \frac{3}{2}$ дает бесконечно много корней — не подходят.