Шаг 1
Упрощаем уравнение, используя свойства тригонометрических функций.
$\cos(-x) = \cos x$ и $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
Исходное уравнение: $2\cos x - 2\sqrt{3} \cos(-x) - 4\sin^2 x = \sqrt{3} - 4$.
Подставляем: $2\cos x - 2\sqrt{3} \cos x - 4\sin^2 x = \sqrt{3} - 4$.
$\cos(-x) = \cos x$ и $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
Исходное уравнение: $2\cos x - 2\sqrt{3} \cos(-x) - 4\sin^2 x = \sqrt{3} - 4$.
Подставляем: $2\cos x - 2\sqrt{3} \cos x - 4\sin^2 x = \sqrt{3} - 4$.
Результат:
$2\left(1 - \sqrt{3}\right)\cos x - 4\sin^2 x = \sqrt{3} - 4$.
Шаг 2
Заменяем $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$2\left(1 - \sqrt{3}\right)\cos x - 4\left(1 - \cos^2 x\right) = \sqrt{3} - 4$.
Раскрываем скобки: $2\left(1 - \sqrt{3}\right)\cos x - 4 + 4\cos^2 x = \sqrt{3} - 4$.
Переносим все слагаемые влево: $4\cos^2 x + 2\left(1 - \sqrt{3}\right)\cos x - \sqrt{3} = 0$.
$2\left(1 - \sqrt{3}\right)\cos x - 4\left(1 - \cos^2 x\right) = \sqrt{3} - 4$.
Раскрываем скобки: $2\left(1 - \sqrt{3}\right)\cos x - 4 + 4\cos^2 x = \sqrt{3} - 4$.
Переносим все слагаемые влево: $4\cos^2 x + 2\left(1 - \sqrt{3}\right)\cos x - \sqrt{3} = 0$.
Результат:
квадратное уравнение относительно $\cos x$: $4\cos^2 x + 2\left(1 - \sqrt{3}\right)\cos x - \sqrt{3} = 0$.
Шаг 3
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = 4\left(1 - \sqrt{3}\right)^2 + 16\sqrt{3} = 4\left(1 - 2\sqrt{3} + 3\right) + 16\sqrt{3} = 4\left(4 - 2\sqrt{3}\right) + 16\sqrt{3} = 16 - 8\sqrt{3} + 16\sqrt{3} = 16 + 8\sqrt{3} = 4\left(\sqrt{3} + 1\right)^2$.
$\sqrt{D} = 2\left(\sqrt{3} + 1\right)$.
Корни: $\cos x = \frac{-2\left(1 - \sqrt{3}\right) \pm 2\left(\sqrt{3} + 1\right)}{8}$.
$D = 4\left(1 - \sqrt{3}\right)^2 + 16\sqrt{3} = 4\left(1 - 2\sqrt{3} + 3\right) + 16\sqrt{3} = 4\left(4 - 2\sqrt{3}\right) + 16\sqrt{3} = 16 - 8\sqrt{3} + 16\sqrt{3} = 16 + 8\sqrt{3} = 4\left(\sqrt{3} + 1\right)^2$.
$\sqrt{D} = 2\left(\sqrt{3} + 1\right)$.
Корни: $\cos x = \frac{-2\left(1 - \sqrt{3}\right) \pm 2\left(\sqrt{3} + 1\right)}{8}$.
Результат:
$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\cos x = -\frac{1}{2}$.
Шаг 4
Находим общие решения:
1) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = -\frac{1}{2}$: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
1) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = -\frac{1}{2}$: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Результат:
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 5
Находим корни на отрезке $\left[2\pi, \frac{7\pi}{2}\right]$.
Перебираем серии:
- $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k=1$: $x = \frac{13\pi}{6}$ (подходит).
- $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k=1$: $x = \frac{11\pi}{6} < 2\pi$; при $k=2$: $x = \frac{23\pi}{6} > \frac{7\pi}{2}$ — не подходят.
- $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=1$: $x = \frac{8\pi}{3}$ (подходит).
- $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=1$: $x = \frac{4\pi}{3} < 2\pi$; при $k=2$: $x = \frac{10\pi}{3}$ (подходит).
Окончательный ответ для части а): $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Окончательный ответ для части б): $\frac{13\pi}{6}$, $\frac{8\pi}{3}$, $\frac{10\pi}{3}$.
Перебираем серии:
- $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k=1$: $x = \frac{13\pi}{6}$ (подходит).
- $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k=1$: $x = \frac{11\pi}{6} < 2\pi$; при $k=2$: $x = \frac{23\pi}{6} > \frac{7\pi}{2}$ — не подходят.
- $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=1$: $x = \frac{8\pi}{3}$ (подходит).
- $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=1$: $x = \frac{4\pi}{3} < 2\pi$; при $k=2$: $x = \frac{10\pi}{3}$ (подходит).
Результат:
корни на отрезке: $\frac{13\pi}{6}$, $\frac{8\pi}{3}$, $\frac{10\pi}{3}$.
Окончательный ответ для части а): $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Окончательный ответ для части б): $\frac{13\pi}{6}$, $\frac{8\pi}{3}$, $\frac{10\pi}{3}$.