Шаг 1
Используем формулу приведения: $\cos(x+\pi) = -\cos x$.
Результат:
Уравнение принимает вид $\cos 2x - \sqrt{2} \cos x + 1 = 0$.
Шаг 2
Применяем формулу двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^{2} x - 1$.
Результат:
Получаем $2\cos^{2} x - \sqrt{2} \cos x = 0$.
Шаг 3
Выносим общий множитель: $\cos x \left(2\cos x - \sqrt{2}\right) = 0$.
Результат:
Отсюда $\cos x = 0$ или $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Шаг 4
Находим общие решения:
- $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
- $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
- $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
- $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Шаг 5
Отбираем корни на отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$.
Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:
При $k = -4$: $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$.
При $k = -3$: $x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$.
Для $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$:
При $n = -2$ и знаке "$-$": $x = -\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{15\pi}{4}$ (входит в отрезок). Остальные значения при $n=-2$ и $n=-1$ не попадают в отрезок.
Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:
При $k = -4$: $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$.
При $k = -3$: $x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$.
Для $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$:
При $n = -2$ и знаке "$-$": $x = -\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{15\pi}{4}$ (входит в отрезок). Остальные значения при $n=-2$ и $n=-1$ не попадают в отрезок.
Окончательный ответ:
$-\frac{15\pi}{4},\; -\frac{7\pi}{2},\; -\frac{5\pi}{2}$