а) Могло ли быть $m_{20}=3$?
Шаг 3: $m_{20}=3$ означает $40 < k \leq 60$. Тогда максимальное $m_{23} \leq \left\lfloor \frac{60}{23} \right\rfloor + 1 = 3$. Условие $m_{20} < m_{23}$ требует $m_{23} \geq 4$, что невозможно при $k \leq 60$.
Результат:
Нет.
б) Могло ли быть $m_{20}=10$?
Шаг 4: $m_{20}=10$ означает $180 < k \leq 200$. Тогда максимальное $m_{23} \leq \left\lfloor \frac{200}{23} \right\rfloor + 1 = 9$. Условие $m_{20} < m_{23}$ требует $m_{23} \geq 11$, что невозможно.
Результат:
Нет.
в) Наибольшее возможное $k$
Шаг 5: Чтобы максимизировать $k$, нужно выбрать $n$ так, чтобы $m_{20}$ было минимально, а $m_{23}$ — максимально. Минимальное $m_{20} = \left\lfloor \frac{k}{20} \right\rfloor$ (если $n$ и $n+k-1$ не кратны 20). Максимальное $m_{23} = \left\lfloor \frac{k}{23} \right\rfloor + 1$ (если $n$ кратно 23).
Шаг 6: Условие: $\left\lfloor \frac{k}{20} \right\rfloor < \left\lfloor \frac{k}{23} \right\rfloor + 1$, т.е. $\left\lfloor \frac{k}{20} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{k}{23} \right\rfloor < 1$.
Шаг 7: Пусть $\left\lfloor \frac{k}{20} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{k}{23} \right\rfloor = t$. Тогда $23t \leq k < 20(t+1)$. Существование $k$ требует $23t < 20(t+1) \Rightarrow 3t < 20 \Rightarrow t \leq 6$.
Шаг 8: При $t=6$: $138 \leq k < 140$, т.е. $k=138$ или $139$.
Шаг 9: Проверим $k=139$: $\left\lfloor \frac{139}{20} \right\rfloor = 6$, $\left\lfloor \frac{139}{23} \right\rfloor = 6$. Возьмём $n=161$ (кратно 23). Тогда числа $161, 162, \dots, 299$.
Кратные 23: $161, 184, 207, 230, 253, 276, 299$ — $m_{23}=7$.
Кратные 20: $180, 200, 220, 240, 260, 280$ — $m_{20}=6$.
Условие $6 < 7$ выполнено.
Шаг 10: При $k=140$ минимальное $m_{20}=7$ (т.к. $\left\lfloor \frac{140}{20} \right\rfloor = 7$), а максимальное $m_{23}=7$. Тогда $m_{20} < m_{23}$ невозможно.
Шаг 6: Условие: $\left\lfloor \frac{k}{20} \right\rfloor < \left\lfloor \frac{k}{23} \right\rfloor + 1$, т.е. $\left\lfloor \frac{k}{20} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{k}{23} \right\rfloor < 1$.
Шаг 7: Пусть $\left\lfloor \frac{k}{20} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{k}{23} \right\rfloor = t$. Тогда $23t \leq k < 20(t+1)$. Существование $k$ требует $23t < 20(t+1) \Rightarrow 3t < 20 \Rightarrow t \leq 6$.
Шаг 8: При $t=6$: $138 \leq k < 140$, т.е. $k=138$ или $139$.
Шаг 9: Проверим $k=139$: $\left\lfloor \frac{139}{20} \right\rfloor = 6$, $\left\lfloor \frac{139}{23} \right\rfloor = 6$. Возьмём $n=161$ (кратно 23). Тогда числа $161, 162, \dots, 299$.
Кратные 23: $161, 184, 207, 230, 253, 276, 299$ — $m_{23}=7$.
Кратные 20: $180, 200, 220, 240, 260, 280$ — $m_{20}=6$.
Условие $6 < 7$ выполнено.
Шаг 10: При $k=140$ минимальное $m_{20}=7$ (т.к. $\left\lfloor \frac{140}{20} \right\rfloor = 7$), а максимальное $m_{23}=7$. Тогда $m_{20} < m_{23}$ невозможно.
Результат:
Максимальное $k=139$.
Окончательный ответ: