Шаг 1
По теореме о девяти точках середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности.
Результат:
Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ принадлежат окружности девяти точек треугольника $ABC$.
Шаг 2
Введём систему координат. Пусть $B = (0,0)$, $C = (2\sqrt{3},0)$. Тогда середина $BC$: $A_1 = (\sqrt{3},0)$.
Шаг 3
Найдём координаты $A$. Из треугольника $ABC$: $\angle BAC = 60^\circ$, $\angle BCA = 45^\circ$, значит $\angle ABC = 75^\circ$. По теореме синусов:
$\frac{BC}{\sin 60^\circ} = \frac{AB}{\sin 45^\circ} \Rightarrow AB = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{2}$.
Координаты $A$: $x_A = AB \cos 75^\circ$, $y_A = AB \sin 75^\circ$.
$\cos 75^\circ = \cos(45^\circ+30^\circ) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
Подставляя $AB = 2\sqrt{2}$, получаем:
$x_A = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \sqrt{3}-1$,
$y_A = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \sqrt{3}+1$.
$\frac{BC}{\sin 60^\circ} = \frac{AB}{\sin 45^\circ} \Rightarrow AB = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{2}$.
Координаты $A$: $x_A = AB \cos 75^\circ$, $y_A = AB \sin 75^\circ$.
$\cos 75^\circ = \cos(45^\circ+30^\circ) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
Подставляя $AB = 2\sqrt{2}$, получаем:
$x_A = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \sqrt{3}-1$,
$y_A = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \sqrt{3}+1$.
Результат:
$A = (\sqrt{3}-1, \sqrt{3}+1)$.
Шаг 4
Высота $AH$ опущена на $BC$, которая лежит на оси $x$, поэтому $H$ имеет ту же абсциссу, что и $A$, а ординату $0$.
Результат:
$H = (\sqrt{3}-1, 0)$.
Шаг 5
Вычислим $A_1H$. $A_1 = (\sqrt{3},0)$, $H = (\sqrt{3}-1,0)$.
$A_1H = \sqrt{3} - (\sqrt{3}-1) = 1$.
$A_1H = \sqrt{3} - (\sqrt{3}-1) = 1$.
Результат:
$A_1H = 1$.
Окончательный ответ:
1